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Physique-Chimie

Physique

Lois de Descartes

La leçon porte sur la fibre optique et explique comment les rayons lumineux se déplacent à l'intérieur de celle-ci. Il est expliqué que pour que les rayons lumineux soient guidés à l'intérieur de la fibre, il faut qu'il y ait une réflexion totale sur la surface entre le cœur et la gaine de la fibre. Pour cela, il faut que sin θ soit égal à N1/N2. Ensuite, il est expliqué comment passer de l'angle d'incidence (I) à cet angle limite (θ) en utilisant la loi de Descartes. L'ouverture numérique de la fibre est également définie comme étant N0*sin(IA). Ensuite, on calcule la différence de temps de propagation entre le rayon qui va tout droit et celui qui réfléchit à chaque interface, en utilisant la géométrie. Enfin, on détermine la fréquence minimale des impulsions lumineuses pour qu'elles soient distinctes et on compare la bande passante de la fibre avec celle d'un téléphone portable et de la télévision.

Salut, c'est Leïla pour Studio. Aujourd'hui, on va travailler sur la fibre optique. Ok, donc voilà l'exo sur la fibre optique. La fibre optique, ça fait partie des très grands classiques de ce chapitre. C'est tombé plein de fois au concours sous différentes formes. Donc là, je vous ai mis cet exercice classique sous sa forme, je dirais, la plus simple. Et après, vous pouvez regarder dans les différentes annales de concours sous quelle forme c'est tombé. En général, ça va se complexifier un peu au niveau de la position de cette fibre et des questions qu'on peut vous demander par la suite. Alors, qu'est-ce que c'est une fibre optique ? Vous savez, ça permet de transporter de la donnée au débit. Ceux qui ont la fibre normalement, ils peuvent voir les vidéos de studio beaucoup plus rapidement. Et donc, comment ça fonctionne concrètement ? On a un milieu d'indice N1 au centre et une gaine d'indice N2. Et donc, on va voir comment est-ce que les rayons se transportent à l'intérieur de ce milieu-là. Ici, on vous donne également les paramètres géométriques. La partie au cœur a un rayon A et la partie externe, la gaine, a un rayon B. On vous dit que l'entrée de la fibre optique est en contact avec l'air. Son indice, on va noter N0. Et donc, qu'est-ce qui se passe ? J'ai un rayon lumineux qui va arriver au point O, au point d'entrée dans la gaine ici. Et on a appelé I l'angle d'incidence sur la surface d'entrée de la fibre, classiquement avec cette normale-là. Je vous ai bien mis ça sur le schéma. Et donc, on nous demande la condition pour que le rayon réfracté ait une propagation guidée dans le cœur. Alors, qu'est-ce que ça veut dire avoir une propagation guidée dans le cœur ? Ça veut dire que mon rayon, d'une part, va rentrer à l'intérieur de ma fibre et d'autre part, il va se réfléchir à chaque fois sur la gaine pour pouvoir continuer son chemin dans la gaine. S'il ne se réfléchit pas totalement sur la gaine, le problème c'est qu'il va se réfracter et ensuite, il va sortir de ma gaine. Donc, je vais perdre de l'énergie dans mon rayon, je vais perdre des données et ça, on va absolument éviter. Pour ça, allons voir comment on peut faire. Il faut, comme je vous l'ai dit, qu'il y ait réflexion totale sur la surface entre le cœur et la gaine. C'est possible parce qu'on va dans un milieu qui est plus réfringent. On a N2 qui est plus petit que N1 ici. Et donc, on peut avoir réflexion totale ici. Je vous ai mis le schéma de ce qu'on aimerait qu'il se passe. Mon rayon rentre, il se réfracte à l'entrée de la gaine. Ça, on n'a pas le choix de toute façon. Mais par contre, à l'endroit ici de l'angle θ, ici il y a réflexion totale. Allons voir à quelles conditions il y a réflexion totale. Il faut que sin θ soit l'angle limite. Donc, je vous ai mis la condition limite. Il faut que ce soit égal à N1 sur N2. Pour ça, je vous renvoie à la vidéo qu'on a faite qui est dédiée spécialement à l'angle limite et à comment retrouver cette formule en 5 secondes top chrono. Ensuite, il faut faire le lien entre θ et R. Après, je veux savoir, je ne veux pas avoir une condition sur θ, je veux avoir une condition sur I. Je veux savoir, selon l'angle que je lui mets en entrée de fibre, est-ce qu'il y a réflexion totale ou pas. Pour passer à I, il faut d'abord que je passe à R. C'est un triangle rectangle ici. Je vais avoir θ qui est égal à π sur 2 moins R. Ensuite, il suffit de regarder la loi de Descartes à l'entrée. Ici, je l'ai mise avec les grandeurs de l'énoncé. Donc, ça me fait N1 sin R qui est égal à N0 sin I. Je passe tout ça. Ça me fait que sin θ c'est cosinus de R avec la petite formule sur les cosinus. Ça me fait racine de 1 moins sinus carré de R. Ça me fait racine de 1 moins N0 sin I sur N1, le tout au carré. Comme j'ai réflexion totale, j'ai N0 carré sur N1 carré sin carré de I limite qui est égal à 1 moins N2 carré sur N1 carré avec la formule de tout à l'heure. Tout ça, ça me donne l'angle limite. Pourquoi est-ce qu'il s'appelle IA ? Voilà, qu'on appelle l'angle d'acceptance de la film. C'est la valeur maximale que peut prendre IA pour qu'on puisse avoir ce truc de réflexion totale sur l'interface Kergen. Ça me fait arc sinus de racine de N1 carré moins N2 carré, le tout sur N0. Il faut forcément que I soit inférieur à IA. Là, on a raisonné dans le cas limite. C'est quelque chose que je vous conseille de faire parce que sinon, vous vous trimballez des inférieurs à supérieurs à et une fois sur deux, vous oubliez de bien inverser et à la fin, vous vous dites que ce n'est pas normal. Vous calculez le cas limite, limite, limite et ensuite, vous regardez intuitivement ce qui se passe. Là, on voit très bien que si on augmente l'angle I, on va diminuer, on va augmenter notre angle théta. On va diminuer R, donc augmenter théta. Et si on augmente théta, on va dépasser l'angle théta limite à partir duquel on a réflexion totale. Donc, ça marche bien comme ça. Ensuite, on appelle ouverture numérique la quantité N0 sinus IA. On nous demande de l'exprimer cette ouverture numérique en fonction de N1 et N2. Pour ça, on va réutiliser les formules qu'on connaît, sachant que IA, on l'a exprimé sous la forme d'un arc sinus. Donc, exprimer sinus de IA, ça ne va pas être trop compliqué normalement. Donc, allons-y. On a ON, du coup, juste en appliquant ça, qui est racine de N1² moins N2². On ne nous dit pas trop ce que c'est encore l'ouverture numérique, mais on va voir ça. On nous demande maintenant de faire l'application numérique pour de la silice et du silicone. Donc, moi, j'ai trouvé que ça nous fait 0,368. Pour ce type d'application numérique en optique, il faut quand même les faire à la calculatrice. Je sais que je vous dis toujours qu'il ne faut pas utiliser la calculatrice pour s'habituer en situation où on court. Ici, vous avez plusieurs chiffres significatifs. Donc, c'est le genre de situation dans laquelle on vous donnerait la calculette. Sinon, c'est un nombre qui est un peu difficile à calculer de tête. Ce n'est pas sûr, mais bon. On envoie dans la fibre un faisceau lumineux avec tous les angles d'incidence entre 0 et IA. Donc, on envoie un grand faisceau. Et donc, ce qu'on va nous demander ici, c'est calculer la différence delta tau entre la durée maximale et la durée minimale de propagation d'un bout à l'autre de cette fibre. Alors là, on rentre en fait dans les questions plus type concours. C'est-à-dire que bon, là, on a fait quelque chose d'assez scolaire. On a appliqué la loi Descartes, on a vu réflexion totale, etc. Là, on va rentrer dans des choses peut-être un peu plus intuitives, ou en tout cas, qui demandent un peu plus de sens physique. Et donc, pour trouver ce delta tau, qu'est-ce qu'on va faire ? On va regarder ce qui se passe entre le rayon qui va tout droit et le rayon qui réfléchit au maximum sur l'interface Kerr-Gann à chaque fois. Alors, qu'est-ce que ça va vous donner ? Déjà, le temps le plus court, c'est évidemment celui qui est sur l'axe. C'est le rayon qui va tout droit. Et ça, c'est assez clair. Et donc, la vitesse dans le cœur, on peut la déterminer avec la formule que vous connaissez, qu'il suffit de divider la vitesse de la lumière par l'indice du milieu qu'on traverse. J'ai mis ce rappel-là. C est dans un milieu d'indice N, c'est c sur N. Et donc, le temps du rayon qui traverse le plus rapidement la fibre, c'est grand L sur V. Et du coup, ça nous fait L N1 sur c, où c, c'est la vitesse de la lumière dans le vide. Le temps le plus long, c'est celui de l'angle d'acceptance. C'est l'angle maximum qu'on met. Ça veut dire que notre rayon, il fait un maximum de zigzags. Et donc, pour ça, on va faire un peu de géométrie. Ça, c'est, je vous ai mis la longueur petite L, la longueur grande L effective. Vous voyez que ça nous donne l'écart entre le rayon qui va tout droit et le rayon qui se prend des zigzags. Et donc, on peut déterminer, comme ça, sinus de l'angle θ, qui est petite L sur L effective. Et donc, ça nous permet de voir la longueur qui est parcoureuse, qui est grande L sur sin θ. Alors, vous allez me dire, oui, mais ça, ça marche que dans le triangle. Vous voyez qu'avec le théorème de Thalès, en fait, c'est comme si vous preniez vos rayons, que vous les aligniez pour former un immense triangle qui fait cette fibre optique. Et donc, ça nous donne bien la longueur qui est effectivement parcoureuse par ce rayon-là. Et donc, le temps le plus long, que j'ai appelé taux long, ça va être grand L N1 sur c sin θ. Et donc, le delta taux, je vais prendre la différence entre les deux, ça va me faire grand L N1 sur c, facteur de 1 sur sin θ, moins 1. Hop, ça c'est ok. Et donc, tatatata, ok, donc ça, on a bien fait ça. L'application numérique, maintenant, pour une longueur de fibre de 1 kilomètre. Et donc, qu'est-ce que ça nous donne ? Tout ça, ça nous fait 0,158 microsecondes. Donc, on va l'utiliser dans la suite. Dans la suite, on dit qu'en fait, notre signal, c'est pas un faisceau qu'on entend en continu, mais c'est des impulsions lumineuses, comme les signaux électriques que vous voyez en TP. Et donc, on nous demande quelle valeur minimale de la fréquence on doit choisir pour que les impulsions soient distinctes. Et donc, qu'est-ce qu'il faut ? Il faut que chaque impulsion, elle ait laissé le temps à tout le monde d'arriver, c'est-à-dire y compris le rayon qui va tout droit, et y compris le rayon qui est à l'angle d'acceptance, qui lui met le plus longtemps à arriver. Une fois qu'on a fait ça, si tout de mon premier signal est arrivé, là je peux envoyer le deuxième. Donc, la formule pour tout ça, elle est assez simple. Il nous suffit d'avoir grand T qui est plus grand que delta tau. Et à partir de ce moment-là, les signaux ne se superposeront pas. Donc, qu'est-ce que ça nous donne pour la fréquence ? On nous demande dans la question B. Il faut que f soit plus petit qu'un sur delta tau. Et donc, delta f, ça nous fait 6,3 fois 10 puissance 6, et on veut le donner en bits par seconde. C'était là. Donc, le nombre d'impulsions par seconde. Pourquoi ? Parce qu'à chaque impulsion, en fait, va correspondre un bit. Et donc, c'est ça qu'on veut voir ici. Et donc, maintenant, on nous demande de comparer la valeur de la bande passante avec celle d'un téléphone portable et de la télévision. Donc, là, on l'a calculé. Donc, ça va passer pour le téléphone, mais ça ne va pas passer ici pour la télévision. J'espère que cet exercice vous aura été utile. C'est vraiment quelque chose de super complet qui peut vous permettre de revoir vos DS en allant un tout petit peu plus loin que les choses scolaires que vous avez vu sur la loi de Descartes. N'hésitez pas à poser vos questions ou vos remarques en commentaire.

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