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Fonctions (0) : Dérivation, classe C1

Dans cet exercice, nous devons déterminer si deux fonctions sont dérivables sur l'ensemble des réels. La première fonction f est clairement continue et dérivable sur l'ensemble des réels sauf en 0. Nous montrons que f est dérivable en 0 en utilisant la définition du nombre dérivé et nous obtenons que f' de 0 est égal à 0. Nous montrons ensuite que f' n'est pas continue en 0, donc f n'est pas séante sur l'ensemble des réels.La deuxième fonction g est similaire à f, mais multipliée par x³. Nous montrons que g est séante sur l'ensemble des réels sauf en 0 et qu'elle est dérivable en 0 en utilisant la même méthode que pour f. Enfin, nous montrons que g' est continue en 0, donc g est séante sur l'ensemble des réels.

Salut à tous, c'est Corentin. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice qui va vraiment être important que ce soit pour la fin de votre SUP ou pour votre SPÉ. Alors cet exercice, quel est-il? On se donne deux fonctions. Une fonction f qui a x associé x² x sin2 1 sur x si x est différent de 0 et 0 si x est égal à 0. Et g qui a x associé x³ x sin2 1 sur x si x est différent de 0 et aussi 0 si x est égal à 0. Et c'est à nous de déterminer si ces fonctions sont dérivables ou c'est 1 sur r. Commençons d'emblée par notre première fonction. On remarque que f est clairement continuée et dérivable sur r étoile en tant que produit de telle fonction. Montrons de plus que f est dérivable en 0 maintenant. Ce que je vous propose de faire, c'est de revenir à la définition du nombre dérivé par les taux d'accroissement. On calcule f de h moins f de 0 sur h. C'est égal à h sin2 h. Or, h sin2 h, on peut le majorer par h compte tenu du fait que sin2 h est inférieur ou égal à 1 pour tout h dans r. Cette égalité, je vous encourage vraiment à la connaître et à l'appliquer parce que vous allez vraiment beaucoup la rencontrer dès qu'un exercice fait appel à des fonctions sinus ou cosinus. Or, h tend vers 0 lorsque h tend vers 0, bien entendu. On conclut que le taux d'accroissement de f tend vers 0 lorsque h tend vers 0. On conclut que f est dérivable en 0 et vérifie f' de 0 est égal à 0. Voyons à présent si f' est continue en 0. En gros, ce qu'on est en train de faire maintenant, c'est de voir si f est séant sur r tout entier. On remarque que pour toute x dans r étoile, f' de x est égal à 2x sin2 sur x moins 2x sin2 sur x. C'est égal à 2x sin1 sur x moins cosin1 sur x. Là, ce que je vous propose de faire à ce stade, c'est un rappel. Un rappel qui nous dit que f' de x tend vers l lorsque x tend vers a, si et seulement si, pour toute suite un, tel que un tend vers a lorsque n tend vers plus l'infini, f' de un tend vers l lorsque n tend vers plus l'infini. Posons à présent un est égal à 1 sur 2pi n pour tout n dans n. C'est une suite. On remarque que un tend vers 0 lorsque n tend vers plus l'infini. Et que f' de un est égal à 1 sur npi fois sin2 de 2pi n moins cosin2 de 2pi n. Et ça, c'est égal à moins 1 pour toute n appartenant à n. Et c'est différent de 0. Conclusion, puisque on a exhibé une suite telle que notre suite tend vers 0, mais que la suite définie par la fonction de notre suite ne tend pas vers l qui est ici 0, on en déduit que f est dérivable sur r mais n'est pas continue. Autrement dit, elle n'est pas séine sur r. Attaquons-nous à présent à notre deuxième fonction, qui est très ressemblante à notre première, mais pour lequel cette fois-ci on multiplie par x³. On montre de la même manière qu'à la question précédente que g est séine sur r étoile et dérivable en 0. Ce qu'il nous reste à faire à présent, c'est de montrer que g' est continue en 0. Et on aura montré que g est séine sur r tout entier. Encore une fois, ce qu'on fait pour tout x dans r étoile, c'est qu'on calcule la dérivée de g. On remarque que g'x est égal à 3x² sin1 sur x moins x cos1 sur x. De là, l'inégalité triangulaire nous permet dans un premier temps d'obtenir une première majoration de g'x. Enfin, compte tenu du fait que sin1 sur x est aussi inférieur ou égal à 1 et de même pour le cosinus, on peut majorer. Et on remarque que ça tend vers 0 lorsque x tend vers 0. D'où g'x tend vers 0 lorsque x tend vers 0, mais on remarque que c'est égal à g'0. Conclusion, g est bien sin1 sur r.

Fonction C1

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