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Dérivée d’une composée
Dans cet exercice, nous devons montrer que la dérivée de la fonction f de x est égale à un polynôme Q de 1 sur 1 moins x fois l'exponentiel de 1 sur 1 moins x, et trouver la relation entre le polynôme P et le polynôme Q.
Pour commencer, nous dérivons la fonction f prime de x, en utilisant la règle du produit. La dérivée de la partie gauche du produit est P prime de 1 sur 1 moins x fois 1 moins x au carré, multipliée par l'exponentiel de 1 sur 1 moins x. En dérivant la partie droite du produit, nous obtenons P de 1 sur 1 moins x fois 1 sur 1 moins x au carré fois l'exponentiel de 1 sur 1 moins x.
Ensuite, nous factorisons par l'exponentiel de 1 sur 1 moins x et introduisons un polynôme Q de 1 sur 1 moins x, qui est égal à P prime de 1 sur 1 moins x plus P de 1 sur 1 moins x fois 1 sur 1 moins x au carré.
En posant Q de x égal à P prime de x plus P de x fois x au carré, nous obtenons notre polynôme Q et la relation qui lie Q à P.
Cet exercice est relativement simple, mais il est important de le comprendre car ce mécanisme revient fréquemment aussi bien aux oraux des concours qu'aux épreuves écrites.
