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Fonctions (0) : Dérivation, classe C1

Corentin donne un exercice de dérivation de la fonction f qui est le produit de deux fonctions, x^2 et ln(1+x), à dériver n fois. Il rappelle la formule de Leibniz pour le produit de deux fonctions et identifie les fonctions g et h nécessaires pour l'appliquer. En dérivant h, il remarque que pour k>=3, la dérivée est égale à 0, tandis que pour g, il effectue plusieurs dérivations avant d'obtenir une formule générale pour g dérivée k fois. En utilisant la formule de Leibniz et en factorisant, il simplifie les calculs et obtient une expression pour v(x) qui est ensuite développée et simplifiée. Finalement, il obtient une expression pour la dérivée n fois de f en fonction de x. Il souligne l'importance de simplifier les calculs et de découper le travail pour rendre l'exercice plus facile.

Bonjour à tous, c'est Corentin. Alors aujourd'hui je suis souriant mais l'heure est grave puisque l'exercice que nous avons face à nous aujourd'hui va nous demander beaucoup de capacités de calcul et beaucoup de concentration. Alors j'espère que vous êtes prêts, accrochez-vous. L'énoncé de cet exercice est en apparence assez simple. On nous demande de dériver n fois la fonction f qui a x associé x au carré fois ln de 1 plus x. Deux choses doivent nous mettre à la puce à l'oreille. On nous demande de dériver n fois une fonction qui s'écrit comme le produit de deux autres fonctions et ça, ça doit nous rediriger immédiatement vers la formule de Leibniz que je vous rappelle aujourd'hui. Soit g et h deux fonctions cn et f qui est le produit de g par h. Alors f est aussi cn et f dérivé n fois est égal à la somme pour k allant de 0 à n de k parmi n fois g dérivé k fois fois h dérivé n moins k fois. On remarque que cette somme là en fait c'est un espèce de binôme de newton appliqué à deux fonctions. Ici on identifie nos deux fonctions. h c'est la fonction qui a x associé x au carré et g c'est la fonction qui a x associé ln de 1 plus x. Le domaine de définition du produit est donc moins 1 plus l'infini. Pour se forger une idée et pour commencer à faire nos premiers calculs doucement mais sûrement, ce que je vous propose de faire c'est de commencer par dériver une fois. On trouve que h prime est égal à 2x. On dérive une deuxième fois. On trouve que h seconde est égal à 2 et puis on remarque que pour tout k supérieur ou égal à 3, h dérivé k fois est égal à 0. Et là on commence à avoir un petit espoir sur le fait que ces calculs vont simplifier puisque pour k est égal à 3 et bien h dérivé k fois est égal à 0. Pour g en revanche c'est moins cool puisque g prime de x est égal à 1 plus x. g seconde de x est égal à moins 1 divisé par 1 plus x au carré. Et g dérivé k fois 2x est égal à moins 1 puissance k moins 1 fois k moins 1 factoriel divisé par 1 plus x puissance k. Voilà on s'est forgé notre intuition. On a commencé à dériver un peu et là on peut s'attaquer à notre fameuse formule de Leibniz et réinjecter ce qu'on vient de trouver dans cette somme. On remarque alors que f dérivé n fois est égal à cette formule-là. En réinjectant on arrive sur cette formule assez barbare mais on va pouvoir s'en sortir en simplifiant puisqu'on remarque qu'on peut factoriser par v de x avec v de x qui vaut cette expression là qui en simplifiant encore un peu v de x et là je vous fais confiance je vous fais confiance moi je passe vite sur les calculs parce que il faut savoir calculer en prépa mais l'intérêt en fait il n'est pas là. L'intérêt il est surtout l'idée qu'il faut qu'il faut que vous ayez c'est vraiment factoriser pour avoir une expression plus simple et puis ensuite en fait c'est découper le travail on factorise et puis ce qu'on fait maintenant c'est qu'on travaille juste sur v de x qui est ma foi compliqué mais déjà plus simple que cette formule barbare qu'on avait là. Voilà c'est ça l'idée qu'il faut que vous ayez c'est factoriser et puis après vous allez voir que les calculs ça rôle tout seul. V de x voilà ce qu'on fait c'est qu'on développe ici ici aussi on développe ici aussi on développe et puis on simplifie. Enfin c'est des choses qu'on sait faire depuis la seconde quoi et puis on trouve que v de x est égal à 2 x au carré plus 2 nx plus n fois n-1. On en conclut donc que f dérivé n fois 2 x est égal à 2 x au carré plus 2 nx plus n au carré moins n fois ce quotient là. Voilà donc cet exercice est assez compliqué dans les calculs et dans la rigueur qu'il faut que vous ayez. En revanche de manière théorique la seule difficulté qu'on rencontre c'est identifier notre besoin c'est à dire identifier qu'on a vraiment besoin de cette formule de Leibniz pour résoudre cet exercice, identifier nos deux fonctions, le domaine de définition, commencer à dériver un peu, réinjecter et puis là j'insiste vraiment l'idée qu'il faut que vous ayez vraiment quand vous faites des calculs un peu compliqués c'est simplifier. Une qualité qui n'est pas forcément une qualité en prépa mais une qualité qu'il faut avoir en calcul c'est être paresseux c'est vraiment simplifier, se découper le travail, se mâcher le travail et puis après on s'en sort vraiment facilement.

Dérivée n-ième

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