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Fonctions (0) : Dérivation, classe C1

Dans cet exercice, nous cherchons à démontrer l'existence d'une unique tangente commune aux courbes d'équation y = x² et y = 1/x. Pour cela, nous commençons par rappeler l'équation d'une tangente en A, qui est f '(A) * (x - A) + f '(A). Nous posons ensuite f(x) = x² et A ∈ R. La tangente à f en A est donc égale à 2Ax - A². De même, nous posons h(x) = 1/x et nous calculons la tangente de h en B en dérivant pour avoir le coefficient directeur. Nous trouvons ainsi que la tangente de h en B est égale à -x/B² + 2B. Pour que les tangentes coïncident, nous égalisons les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine. Ainsi, nous obtenons 2A = -1/B² et -A² = 2/B. Il est important de noter que A et B sont des inconnus qu'il faut déterminer. En résolvant le système linéaire et en factorisant, nous trouvons que A = -2 et B = -1.5. Nous vérifions alors que les tangentes en A = -2 et B = -1.5 coïncident.

Salut à tous, c'est Corentin. On se retrouve sur un exercice assez intéressant à mon sens puisqu'il va nous demander d'être attentifs sur les variables qu'on fixe et les variables qu'on ne fixe pas. Alors, cet exercice, quel est-il ? Il nous demande de démontrer que les courbes d'équation y est égale à x² et y est égal à 1 sur x admettent une unique tangente commune. Alors, ce que je vous propose de faire, c'est de commencer tout de suite par un rappel qui nous donne l'équation d'une tangente en A. Alors, on sait que l'équation d'une tangente en A vaut f'A fois x-A plus f'A. De là, on pose f qui a x associé x² et on fixe A dans R. La tangente de f en A est égale à 2A fois x-A plus A². On développe et on obtient que la tangente à f en A est égale à 2Ax-A². De même, on pose h qui a x associé 1 sur x et là aussi, ce qu'on va faire, c'est calculer la tangente de h en B. On dérive pour avoir le coefficient directeur, bien sûr, je n'ai pas précisé, et on trouve que la tangente de h en B est égale à moins x sur B² plus 2B. À partir de là, pour que les tangentes coïncident, il faut que 2A est égale à moins 1 sur B² et que moins A² est égale à 2 sur B. Ici, on a le coefficient directeur et ici, on a l'ordonnée à l'origine. Et là, ce qu'il faut remarquer, c'est que d'habitude, la plupart du temps, quand on calculait les tangentes, c'était en des points qu'on connaissait, c'est-à-dire en 1, en 2, en un nombre réel qu'on connaissait bien et qui était fixé. Ici, A et B, en fait, ce sont des inconnus. Ce sont des inconnus qu'il faut déterminer. Et ça, c'est important, parce que sinon, on ne va pas fixer la bonne chose ici, et c'est vraiment primordial, en fait. On résume notre système linéaire, on factorise, et on trouve que A est égale à 0 ou A est égale à moins 2. Or, A ne peut pas être égale à 0, parce que sinon, ici, on diviserait par 0. On en conclut donc que A est égale à moins 2 et B est égale à moins 1,5. Ainsi, on vérifie facilement que les tangentes en A est égale à moins 2 et B est égale à moins 1,5 coïncident.

Tangente

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