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Fonctions (0) : Dérivation, classe C1

Dans cette vidéo, Corentin explique un exercice d'étude de fonction. Il commence par montrer que la fonction f est dérivable sur R+ et calcule la dérivée f'(x). En étudiant le signe de cette dérivée, il détermine que f atteint un minimum en 1. Ensuite, il démontre une inégalité en utilisant les résultats précédents. Il montre que pour tout x dans R+ et y dans R+, x+y^n est inférieur ou égal à 2^n-1 * x^n + y^n. Pour ce faire, il réutilise l'inégalité précédente en divisant par y^n et fait une substitution en posant u = x/y. En conclusion, pour tout couple (x,y) dans R+², on a x+y^n ≤ 2^n-1 * x^n + y^n.

Salut à tous c'est Corentin, bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice qui démarre ma foi de manière assez classique puisque c'est une simple étude de fonction comme on le faisait en terminale et qui termine en vous demandant de faire appel à votre capacité de concentration mais aussi de bricolage je dirais pour trouver des astuces et démontrer des inégalités. Alors cet exercice quel est-il ? On se donne n, un entier fixé et f, une fonction de r plus un r, définie par la formule suivante. Et dans un premier temps comme je vous l'ai dit c'est une bête étude de fonction. Il faut montrer que f est dérivable sur r plus et calculer f prime de x pour x supérieur ou égale à 0 et en étudiant le signe de f prime démontrer que f atteint un minimum sur r plus que l'on déterminera. Il faut ensuite déterminer l'inégalité suivante et là spoiler il va falloir céder des questions précédentes et puis être un peu rigoureux et puis faire appel un peu à nos capacités de concentration et à trouver des astuces comme je vous l'ai dit. Enfin il faut montrer que si x est dans r plus et y est dans r plus alors on a x plus y puissance n est inférieure ou égale à 2 puissance n moins 1 fois x n plus y n. Alors commençons tout de suite f est dérivable en tant que fonction rationnelle ne possédant aucun pôle dans l'intervalle considéré en effet son dénominateur ne s'annule pas sur r plus donc on est tranquille on peut dériver comme on veut quand on veut et tout se passe bien. Ce qu'on fait c'est qu'on dérive. Moi je l'ai pensé comme un produit mais vous pouvez le penser comme un quotient et puis appliquer vos formules visuelles. On induit que f prime de x est égal à n fois x puissance n moins 1 divisé par 1 plus x puissance n. A partir de là en fonction du signe de la dérivée on va déterminer le minimum on va voir où il est et puis voilà quoi là vous savez de quoi je parle. On sait que x puissance n moins 1 est négative sur 0 et positive sur 1 plus l'infini et s'annule en 0. Or d'après l'expression trouvée à la question précédente f prime c'est clairement du signe de x puissance n moins 1 puisque le dénominateur ne change jamais de signe sur r plus et est toujours positif. On en déduit donc que f atteint un minimum global sur r plus en 1. A partir de là on peut attaquer la partie entre guillemets intéressante de l'exercice qui va être de trouver nos petites inégalités. D'après la question précédente on sait que pour tout x dans r plus et bien f2x est supérieur ou égal à f2. Et ça c'est équivalent à dire en remplaçant f2x par son expression et f2 par sa valeur que 1 plus x puissance n divisé par 1 plus x puissance n est supérieur ou égal à 1 sur 2 puissance n moins 1. D'où l'inégalité recherchée en passant le 2 de ce côté là et le 1 plus x puissance n de ce côté là. Enfin la dernière question nous demande de montrer que x plus y puissance n est inforégale à 2 puissance n moins 1 fois x puissance n plus y puissance n. Et puis là ce qu'il faut faire vraiment c'est chercher à se ramener aux questions précédentes puisque c'est simple puisque c'est toujours plus simple en fait et que en fait c'est ce que vraiment les énoncés de concours et d'euros vous demandent de faire. C'est de savoir où vous en êtes et d'avoir compris ce que vous venez de démontrer. Moi ce que je fais c'est que je reprends l'inégalité que je vous montrais et je vais raisonner par équivalence. Alors moi ce que je vais montrer c'est ça. Ce que je vais faire c'est que je vais diviser par y puissance n en le supposant différent de 0 bien sûr sinon je ne peux pas le faire et je me ramène à cette expression là. Mais ça c'est vrai d'après la question précédente si jamais je pose u est égal à x divisé par y. On a raisonné par équivalence et on s'est ramené à une inégalité qu'on avait démontré et que l'on sait est vraie. On en déduit que notre inégalité du début est vraie sachant que le cas bien sûr y égal à 0 est trivial. Conclusion pour tout couple x y dans R plus au carré x plus y puissance n est inférieur ou égal à 2 puissance n moins 1 fois x puissance n plus y puissance n.

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