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Fonctions (1) : Sujets d'écrits

Dans cette vidéo, Corentin traite de la recherche de solutions Lipschitzienne d'une équation donnée. Il commence par montrer qu'une équation vérifiée pour tout réel X et tout entier naturel N peut être résolue par récurrence sur N. Ensuite il démontre que cette équation ne permet au plus qu'une solution dans l'ensemble des fonctions Lipschitzienne lorsque la valeur absolue de lambda est strictement inférieure à 1. Lorsque f est une fonction constante de valeur 1, la solution Lipschitzienne unique est trouvée en résolvant l'équation et en montrant qu'elle est constante. Enfin, Corentin démontre que la fonction donnée par une formule particulière est la solution unique Lipschitzienne de l'équation lorsque f est égale à cosinus et sinus de x.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui pour la correction de la partie B de notre fameux sujet d'écrit. Partie B qui consiste cette fois-ci à rechercher les solutions Lipschitzchaine de l'équation suivante, qu'on note epsilon, où f est une fonction Lipschitzchaine donnée et où a et lambda sont deux réellement nulles données. Et ce qu'on vous précise c'est qu'on ne traitera quelques cas particuliers un peu intéressants. Commençons tout de suite par la question 1 qui nous demande de montrer que pour f, une fonction de R dans R vérifiant epsilon, on a pour tout réel X et tout entier naturel N l'équation suivante. Moi quand je vois pour tout réel X et surtout pour tout entier naturel N, je pense immédiatement à une récurrence à X fixée. Donc je fixe X et je montre par récurrence sur N dans N l'hypothèse de récurrence suivante. Commençons tout de suite par l'initialisation. Puisque grand f est solution d'epsilon, h1 est vérifié d'après l'énoncé. Passons tout de suite du coup à l'hérédité. Par hypothèse de récurrence, j'ai le droit de dire que grand f de X c'est égal à lambda puissance N fois f de X plus Na plus la somme pour k allant de 0 à n-1 des lambda k fois f de X plus k. Mais puisque f vérifié epsilon, j'ai le droit de remplacer mon f de X plus Na par lambda f de X plus Na plus a plus petit f de X plus Na. En fait j'ai remplacé le X de cette équation, j'ai fait un petit changement de variable par f de X plus Na. Et donc ça me permet de remplacer ça par ça là dedans. Qu'est ce que je fais ensuite? Je distribue mon lambda puissance N, je passe cette quantité là ici dans cette somme là et je me retrouve finalement avec mon hypothèse de récurrence vérifiée au rang n plus 1. En fait on se rend compte que c'était quasiment immédiat. Alors ici je précise que j'ai quand même oublié la puissance n plus 1. Attention! Conclusion, mon hypothèse de récurrence est vérifiée, ma preuve est terminée. Voilà c'était assez simple et on aurait même pu faire presque une récurrence immédiate mais bon il y a certains profs qui n'aiment pas et puis bon c'est toujours mieux de faire une belle récurrence. Passons donc tout de suite à la question A de la question 2. Il faut montrer cette fois ci que l'équation epsilon met au plus une solution dans l'ensemble des fonctions Lipschitz. Avec on précise ici, on se passe dans le cas où la valeur absolue de lambda est strictement inférieure à 1. Voyons voir, à mon avis il va y avoir des suites avec des trucs qui tombent vers 0, vous allez voir. Pour une rédaction d'unicité c'est toujours la même chose, soit f et g, deux solutions de E qui appartiennent à l'ensemble des fonctions Lipschitz n. Notre but ça va être de montrer que f est égal à g. D'après la question A4, on sait que la valeur absolue de f de x est majorée par a fois la valeur absolue de x plus b et de même que la valeur absolue de g de x est majorée par c fois la valeur absolue de x plus d puisque f et g sont Lipschitz n, et ce pour tout réel x. A partir de là, d'après la question B1, on sait que pour tout entier naturel n et pour tout x dans R, f de x moins g de x, j'ai le droit de les remplacer par leur fameuse formule qu'on vient de trouver à la question B1. Sauf que ça et ça, les deux sommes vont s'en aller puisque c'est les mêmes pour les deux. On se retrouve donc avec un valeur absolue de lambda puissance n facteur de valeur absolue de f de x plus n a moins g de x plus n a. Sauf que ce qu'on vient de montrer ici, on va s'en servir. On peut la majorer par cette quantité là. Sauf que ma valeur absolue de lambda puissance n qui est en facteur, elle tend vers 0 lorsque elle tend vers plus l'infini. Et là qu'est ce qu'on est en train de dire? On est en train de dire que f de x moins g de x, une quantité indépendante de n, est majorée par une suite pour toute n qui tend vers 0. Et bien conclusion, on a donc g de x qui est égale à f de x pour toute x dans R, et c'est exactement dire que f est égale à g. Conclusion, epsilon n met au plus une solution dans l'ensemble des fonctions Lipschitzienne. Passons à présent à la question b qui nous demande de trouver l'ensemble des solutions de epsilon appartenant à l'ensemble des fonctions Lipschitzienne lorsque f est constante de valeur 1. Alors lorsque f est constante de valeur 1, moi ce que je fais c'est que je remplace et je remarque que l'équation devient grand f de x moins lambda f de x plus a est égale à 1. Et moi ce que j'ai envie de faire c'est de trouver une solution particulière et ensuite d'utiliser la question précédente pour dire que cette solution particulière c'est l'unique solution qu'on pouvait trouver à condition qu'elle soit Lipschitzienne etc. Et moi je remarque que si je considère que f est une fonction constante, j'ai qu'à dire que f de x plus a ça vaut aussi f de x, je résous l'équation à f de x et je trouve que la fonction qui a x associe 1 divisé par 1 moins lambda, qui est bien Lipschitzienne puisqu'elle est constante, ça c'est assez facile à montrer, elle vérifie l'équation epsilon. Elle vérifie l'équation epsilon, elle est constante donc elle est Lipschitzienne. D'après la question précédente, c'est l'unique solution de notre équation epsilon. Conclusion, dans le cas où f est égale à 1, les solutions Lipschitzienne en tout cas se réduisent au singleton qui est la fonction qui a x qui a x associé, la fonction qui a x associé 1 divisé par 1 moins lambda. Passons à présent à la question suivante qui nous demande cette fois ci de montrer que g, la fonction qui va de r dans r et qui a x, associe cette grosse formule là. Tout ça est tellement la formule est énorme. En fait elle est bien solution de l'équation epsilon dans le cas où f est la fonction cosinus. Alors comment on fait? Déjà g est bien défini, on vérifie ça déjà, c'est déjà pas mal, c'est assez rigoureux, ça plaît. Car 1 moins 2 lambda cosinus de a plus lambda carré c'est égal à 1 moins lambda exponentielle a fois 1 plus lambda exponentielle moins a. Et ça c'est strictement différent de 0 puisque ces deux lambdas sont strictement férées à 1. Donc à aucun moment ça va pouvoir valoir 0. Maintenant montrons que g est bien Lipschitzienne et on sait qu'elle l'est en tant que combinaison linéaire de telles fonctions. D'après la question 1, c'est toujours bien de se référer aux questions précédentes. De là, pour tout x dans r, on remarque que g de x moins lambda g de x plus a c'est égal à tout ça là. Sacrée formule, c'est du calcul. Or cosinus de x moins a, d'après les formules de soustraction, c'est égal à cosinus de x fois cosinus de a plus sinus de x fois sinus de a. Et cosinus de x plus a c'est égal à cosinus de x fois cosinus de a moins sinus de x fois sinus de a. Donc je vais pouvoir remplacer ces deux trucs là dans cette égalité par tout ça. Et je remarque que je peux factoriser ensuite par cosinus de x et que ce qui est en haut et ce qui est en bas s'annule et je retrouve bien cosinus de x qui est mon petit f de x. Conclusion, j'ai donc bien solution d'epsilon et en plus j'ai Lipschitzienne. C'est donc l'unique fonction Lipschitzienne qui vérifie l'équation epsilon. L'ensemble des solutions donc e et epsilon appartenant à l'ensemble des fonctions Lipschitzienne est donc le singleton g. Passons à présent à la question d qui nous demande de montrer la même chose mais cette fois-ci en posant petit f de x est égal à sinus de x. Et là, rappel magique, cosinus de x moins 2pi est égal à sinus de x. De là, en posant h de x est égal à g de x moins pi sur 2, on remarque que h de x moins lambda h de x plus a est égal à cosinus de x moins pi sur 2 puisque h de x vérifie l'équation epsilon. Sauf que cosinus de x moins pi sur 2 c'est sinus de x. Conclusion, l'ensemble des solutions de epsilon lorsque f de x est égal à sinus de x est donc le singleton h qui est en fait g de x moins pi sur 2.

Type Mines : Partie B - 4/4

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