Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Fonctions (0) usuelles

Dans cette vidéo, Corentin explique comment simplifier une expression mathématique complexe en utilisant des techniques de calcul et en trouvant le domaine de définition de la fonction. Il commence par déterminer le domaine de définition de la fonction en utilisant les propriétés de la fonction arc tangente et arc sinus. Ensuite, il détermine le domaine de définition de la dérivée de la fonction en utilisant les propriétés de la fonction racine carrée et arc sinus. Enfin, il simplifie l'expression de la fonction en calculant sa dérivée et en déterminant sa constance sur tout le domaine de définition. Le résultat final est que la fonction est constante sur 0,1 avec une valeur de pi / 2.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice qui va vous demander courage et rigueur, vous allez voir pourquoi. Commençons tout de suite par la lecture de l'énoncé. On pose f défini par f de x est égal à 2 arc tangente de racine de 1-x sur x plus arc sinus de 2x-1. Après avoir déterminé le domaine de définition de f et le domaine de définition de f', on nous demande de simplifier l'expression de f. Commençons tout de suite par trouver le domaine de définition de f. On sait du cours que arc tangente est défini sur R tout entier et que arc sinus est défini sur (-1,1), fermé. De là, on en déduit que f est défini, si et seulement si, racine carrée de 1-x sur x est défini et 2x-1 appartient à l'intervalle (-1,1), fermé. On traduit cela par des inégalités, donc f est défini si et seulement si 1-x sur x est supérieur ou égal à 0 et x est différent de 0 et si et seulement si 2x-1 est compris entre (-1,1). On résout pour la première inégalité en faisant un tableau de signes et pour la seconde juste en résolvant une équation. On trouve que le domaine de définition de f est 0,1, ouvert en 0. Attaquons en présent le domaine de définition de f'. Pour ça, on sait que la fonction qui a x associée racine de x n'est pas dérivable en x égale 0 et que la fonction qui a x associée arc sinus de x n'est pas dérivable en x égale à plus ou moins 1. C'est du cours, c'est par fonction du duel. De là, j'en déduis une triple égalité qui me demande à ce que 1-x sur x soit différent de 0, que 2x-1 soit différent de 1 et que 2x-1 soit différent de 1. De là, on en déduit que le domaine de définition de f' est égal à 0,1 mais cette fois-ci ouvert en 1. Attaquons maintenant le coeur de l'exercice qui est la simplification de f. Moi, personnellement, je suis pas un génie et je sais pas trop par où commencer. Je remarque que l'énoncé m'a demandé de trouver le domaine de définition de f'. Ce que j'ai envie de faire, c'est de calculer f' pour voir où ça me mène. Calculez-moi f' et c'est là qu'il va vous falloir du courage parce que c'est assez calculatoire. Ici, j'utilise la formule de la composée appliquée à arc tangente et ici la formule de la composée appliquée à arc sinus. Pour passer de là à cette ligne-là, cette fois-ci, je dérive la racine carrée de 1-x sur x et ici j'utilise l'identité remarquable pour factoriser. Je mène à bien mes calculs, je simplifie ici pour obtenir ceci. Là, le 2 qui est ici et ici, je les enlève et je remarque quoi? En injectant ce x dans la racine, ça fait 0. f'x est égal à 0 pour tout x compris entre 0 et 1. f est donc continue sur 0, 1, dérivable sur 0, 1, de dérivé nul. Elle est donc constante sur 0, 1. On calcule donc sa valeur en un point qui nous arrange, ici x est égal à 1, pour avoir que pour tout x dans 0, 1, 0 fermé, 0 ouvert, 1 fermé, f de x est égal à pi sur 2.

Fonctions arctan et arcsin

RELATED

Recommended videos

En construction !

Equations avec arccos arcsin arctan

Fonctions hyperboliques