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Dans cette vidéo, Corentin nous explique un exercice de mathématiques sur les fonctions trigonométriques. Il commence par poser T égal à arc tangente de SH de x, et montre ensuite quelques relations importantes comme tangente de T égale à sinus hyperbolique de x et sinus de T égale à tangente hyperbolique de x. Il explique également les limites et le graphe de la fonction sinus hyperbolique et de l'arc tangente. Il montre comment prouver que 1 sur cosinus de T est égal à cosinus hyperbolique de x et que x est égal au logarithme de la tangente de T sur 2 plus pi sur 4. En utilisant des démonstrations rigoureuses, Corentin nous permet de mieux comprendre les fonctions trigonométriques.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice que je trouve assez intéressant puisqu'il nous pousse à comprendre en profondeur toutes nos fonctions trigonométriques. Alors cet exercice, quel est-il? Soit x dans R, on pose T est égal à arc tangente de SH de x. La première partie de l'exercice, ça va être de montrer quelques relations. La première qui est tangente de T est égale à sinus hyperbolique de x. La seconde qui est 1 sur cosinus de T est égal à cosinus hyperbolique de x. Et la troisième qui est sinus de T est égal à tangente hyperbolique de x. Ensuite, on va vouloir montrer que x est égal au logarithme de la tangente de T sur 2- plus pi sur 4. Alors commençons tout de suite par un rappel. Un rappel sur le sinus hyperbolique dans un premier temps. Je vous donne son expression qui est exponentielle de x moins exponentielle de x sur 2, mais aussi ses limites en plus l'infini et en moins l'infini. En plus l'infini, sinus hyperbolique de x est envers plus l'infini. Et en moins l'infini, vers moins l'infini. Ce que j'ai fait aussi, c'est que j'ai dessiné son graphe. Et qu'est-ce qu'on remarque? On remarque que la fonction sinus hyperbolique réalise une bijection de R dans R. Et vous allez voir, ça va nous être assez utile dans cet exercice. Ensuite, je m'attarde un peu sur arc tangente. On remarque que arc tangente est envers pi sur 2 lorsque x est envers plus l'infini, et moins pi sur 2 lorsque x est envers moins l'infini. Et lorsqu'on trace son graphe, que arc tangente réalise une bijection, cette fois-ci de R dans moins pi sur 2 pi sur 2 ouvert. Attaquons à présent la question 1. La question 1 qui nous demande de montrer que tangente de T est égale à sinus hyperbolique de x. D'après le rappel, T est bien dans le domaine de définition de la fonction tangente. Ce que je fais donc, c'est que j'applique tangente des deux côtés. Or, je sais que tangente de R tangente de SH de x est égale à SH de x, puisque tangente de R tangente de x est égale à x. On en conclut donc que tangente de T est égale à SH de x. C'était aussi simple que ça pour la question. Mais il fallait bien être igoureux sur, si j'applique la tangente, il faut bien que le réel auquel j'applique la tangente soit bien dans son domaine de définition. Vous voyez, c'est ça la physionomie de cet exercice. Attaquons à présent la question 2, qui nous demande de montrer que 1 sur cosinus de T est égal à SH de x. Dans un premier temps, on remarque, on sait, on remarque pas, on sait, il faut le savoir, que tangente de T est égale à sinus de T sur cosinus de T. Je passe au carré des deux côtés et je simplifie, enfin je simplifie, je change l'écriture en disant que tangente au carré de T est égale à 1 moins cosinus au carré de T divisé par cosinus au carré de T. J'ai utilisé pour cela la fameuse formule sinus de x plus cosinus de x au carré est égale à 1. A connaître, à connaître. A partir de là, en simplifiant, en développant et en passant, en résolvant notre espèce d'équation 1 sur cosinus au carré de T, on trouve que 1 sur cosinus au carré de T est égal à 1 plus tangente au carré de T. Or T est égal à arc tangente de sinus hyperbolique de x. Et on sait que tangente de arc tangente de x est égal à x. On peut donc l'enlever et on se retrouve avec 1 sur cosinus au carré de T est égal à 1 plus sinus hyperbolique de x. Or on sait aussi que cosinus hyperbolique de x au carré moins sinus hyperbolique de x au carré est égal à 1. Je change donc cette écriture en cosinus hyperbolique de x. Pas facile à dire, mais j'espère que vous me suivez. Or, maintenant, il y a des carrés en trop, il faut les enlever. Or, ce que je remarque, c'est que la fonction cosinus hyperbolique ne prend que des valeurs positives et que T appartient à moins pi sur 2 pi sur 2. Donc cosinus de T est strictement positif aussi. A partir de là, je peux enlever les carrés sans me soucier de si je mets un sin plus ou un sin moins, ce sera un sin plus, pas un bar. On a donc bien montré que 1 sur cosinus de T est égal à cosinus hyperbolique de x. C'est un bon exercice de prononciation, je vous conseille de le faire. Montrons à présent notre troisième relation qui est sinus de T est égal à tangente hyperbolique de x. On sait déjà que sinus de T est égal à tangente de T fois cosinus de T. Or, les questions précédentes nous donnent que tangente de T est égal à sinus hyperbolique de x et que cosinus de T est égal à 1 sur cosinus hyperbolique de x. On déduit donc que sinus de T est égal à tangente hyperbolique de x. C'était aussi simple que ça la troisième question. Attaquons à présent la dernière question de cet exercice qui est de montrer que x est égal à logarithme de tangent de T sur 2 plus pi sur 4. Dans un premier temps, qu'est-ce qu'on remarque? On remarque que T sur 2 plus pi sur 4 est compris entre 0 et pi sur 2. Donc, tangent de T sur 2 plus pi sur 4 est bien défini et strictement positif. Ce qu'on fait à présent, c'est qu'on pose y est égal au logarithme de ln de tangent de T sur 2 plus pi sur 4. Et ça, c'est aussi bien défini. Et ce que je vais vouloir faire, c'est montrer que x est égal à y. Alors, qu'est-ce que je fais? Je calcule sinus hyperbolique de y. Je sais d'après le rappel que c'est égal à cette expression-là, avec un moins, attention. En remplaçant le y par son expression, j'en ai dit que c'est égal à 1 demi de tangent de T sur 2 plus pi sur 4 moins 1 demi de 1 sur tangent de T sur 2 plus pi sur 4. Je passe au même dénominateur. Et qu'est-ce que je remarque? Je remarque que cette expression-là, c'est du type cosinus de 2u qu'on a ici. Et que cette expression-là est du type sinus de 2u que je vous donne ici. A partir de là, je simplifie et j'ai entendu que c'est égal à moins cosinus de T plus pi sur 2 divisé par sinus de T plus pi sur 2. Et niveau prononciation, c'est vraiment compliqué, je suis désolé. Or, je sais que cosinus de T plus pi sur 2 est égal à moins sinus de T et que sinus de T plus pi sur 2 est égal à cosinus de T. A partir de là, je retrouve l'expression de la tangente. Et d'après les questions précédentes, qu'on a traitées au petit 1, je sais que tan l'angle de T est égal à sinus hyperbolique de x. Or, puisque sinus hyperbolique est bijectif de R dans R, d'après le rappel, on en déduit que y est égal à x. Conclusion, x est égal à y est égal au logarithme de la tangente de T sur 2 plus pi sur 4.

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