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Dans cette vidéo, Corentin nous présente un exercice de simplification de six formules trigonométriques en utilisant les fonctions hyperboliques. Il commence par rappeler que cosinus hyperbolique au carré plus sinus hyperbolique au carré est égal à 1, généralisé au cosinus hyperbolique. Ensuite, il simplifie les formules en utilisant différentes définitions et formules, telles que la définition de la tangente hyperbolique et la somme des sinus hyperboliques. Finalement, il nous montre comment simplifier une formule avec des racines carrées en passant à la forme conjuguée. Corentin nous encourage à bien connaître les fonctions réciproques de l'arc cosinus hyperbolique, de l'arc sinus hyperbolique et de l'arc tangente hyperbolique pour simplifier les formules. Il conclut avec la formule simplifiée de sine hyperbolique de arg cosine hyperbolique, tangente hyperbolique de arg cosine hyperbolique et cosine hyperbolique de 3 arg cosine hyperbolique.Keywords: trigonométrie, fonctions hyperboliques, simplification, arcsinus hyperbolique, arccosinus hyperbolique, arctangente hyperbolique, formules trigonométriques, cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, racines carrées, forme conjuguée

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice qu'il faut bien maîtriser à mon sens pour être réaliste en calcul trigonométrique. Alors cet exercice, quel est-il? On nous donne six formules trigo et c'est à nous de les simplifier. Voilà, c'est aussi simple que ça. Alors ce que je vous propose de faire, c'est déjà de commencer par un rappel. Un rappel qui nous dit que le cosinus hyperbolique au carré plus le sinus hyperbolique au carré est égal à 1. C'est exactement pareil que lorsqu'on disait que cosinus de x au carré plus sinus de x au carré est égal à 1, généralisé au cosinus hyperbolique. À partir de là, mon cosinus hyperbolique de mon arc sinus hyperbolique, ce que je fais c'est que je le transforme. Je le transforme en un 1 plus sinus hyperbolique de arc sinus hyperbolique en utilisant cette formule-là. Donc ce que j'ai fait, grosso modo, c'est que j'ai isolé mon cosinus hyperbolique et puis j'ai passé à la racine. C'est aussi simple que ça. À partir de là, tout se simplifie puisque sinus hyperbolique de arc sinus hyperbolique, ça nous donne x, c'est tout. Et puis là, on peut considérer qu'on est arrivé à une forme plus simple. Vous êtes quand même d'accord avec moi. Passons maintenant à la tangente hyperbolique de l'arc sinus hyperbolique. C'est vraiment compliqué à dire tangente hyperbolique, arc sinus hyperbolique. Vous m'excuserez des petits bégaiements qui vont sûrement arriver au cours de cette vidéo. Ce que je fais, c'est que je passe à la définition de la tangente hyperbolique. C'est le sinus hyperbolique sur le cosinus hyperbolique. Exactement pareil que pour la tangente classique. Cependant, il reste à l'intérieur mon arc sinus hyperbolique. En haut, ça se passe bien. Mon sinus hyperbolique de arc sinus hyperbolique de x, ça me donne x. En bas, ce que je fais, c'est que j'utilise la question précédente. Donc cette question, vite fait, bien fait, on arrive à notre résultat. C'est x divisé par 1 plus x à la racine. Passons à présent à la troisième question. On nous demande cette fois-ci de simplifier sinus hyperbolique de 2 arc sinus hyperbolique. Malheureusement, ce n'est pas sinus de arc sinus hyperbolique. On ne peut pas enlever simplement le arc sinus hyperbolique et le sinus hyperbolique et se retrouver avec un 2x. Je ne vais pas voir personne faire ça, attention, sinon je ne vais pas être content. Ce que je fais, quand je vois un sinus de 2x ou un sinus hyperbolique de 2x, je somme, c'est comme ça que je m'en souviens. Je sais que mon sinus hyperbolique de A plus B, c'est sinus hyperbolique de A fois cosinus hyperbolique de B plus cosinus hyperbolique de B plus sinus hyperbolique de B. C'est compliqué à dire, franchement, c'est cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique. Ça pourrait être un exercice en soi-même, dire les formules suivantes en français. Et là, vous parlez tout le monde. Bon, je divague, continuons. Je développe en posant A est égal à arc sinus hyperbolique et B est égal à arc sinus hyperbolique. Je développe, j'obtiens cette formule-là, assez sympa puisque j'ai un sinus hyperbolique de arc sinus hyperbolique fois sinus de arc sinus hyperbolique, je remplace par x, c'est tout. Donc en fait, la difficulté était dans l'assommation et pas de faire de faute détournerie. Là, ce n'est même plus une faute détournerie, c'est un drame, on appelle ça un drame. Moi, je ne vais voir personne enlever le sinus et le arc sinus comme ça, attention. Passons à présent à la question 2 qui est un peu plus corsée puisqu'elle nous demande de bien connaître nos arcs cosinus hyperboliques, nos arcs sinus hyperboliques et nos arcs tangents hyperboliques, de connaître leurs formules qui sont données ici en rappel. Je vous les donne en rappel parce que sans en souvenir, c'est compliqué, même moi, je ne m'en souvenais pas. Mais bon, vous, vous passez vos concours, donc il faut s'en souvenir quand même. À partir de là, mon sinus hyperbolique de arc cosinus hyperbolique, ce que je fais, moi, c'est que j'ai remplacé par la formule. Donc j'ai dit que c'était égal à exponentiel de arc sinus hyperbolique, donc mon exponentiel de arc cosinus hyperbolique divisé par 2. Ça, c'est la définition de mon sinus hyperbolique. À partir de là, je remplace par mon arc cosinus hyperbolique qui vaut, on le sait, ln de x plus x au carré moins 1 à la racine. Je remplace ça là-dedans. Et puis, exponentiel de logarithme, hop, on s'en va, tout s'en va. Donc ma foi, ça se passe assez bien ensuite. Ce qu'il faut vraiment, c'est avoir sa définition claire sur le sinus hyperbolique et puis ses fameuses fonctions réciproques, arc sinus, arc cosinus, arc tangente, et les avoir en tête. Et puis après, tout se passe bien, on a juste à remplacer. Là, ce que j'ai fait, c'est que j'ai juste remplacé. Il ne faut pas avoir peur des calculs non plus, parce que là, on se dit, qu'est-ce qui va se passer? Une fois que c'est remplacé, c'est réglé. C'est réglé, c'est réglé, mais non, en fait. Il faut penser, vous êtes d'accord qu'on n'a pas fini là, on n'a pas fini, il faut encore un peu simplifier. Donc je passe au même dénominateur, etc. Et puis, quand on a des racines carrées qui se promènent au dénominateur, ce que je conseille de faire, c'est de passer à la forme conjuguée, entre guillemets, parce que ça, la forme conjuguée, c'est plutôt pour les nombres complexes. Mais en fait, on peut avoir une espèce d'analogue avec les racines carrées. Et ce que je fais au dénominateur, c'est que j'avais à la base 2 moins racine de 3, et je multiplie par 2 plus racine de 3, et puis après ça simplifie. Et là, je retrouve une formule beaucoup plus sympa. Donc c'est ce que je fais dans ma formule ici, je passe au même dénominateur, ça je vous épargne les calculs, ici je multiplie par ma forme conjuguée, et puis à la fin j'ai un truc vachement sympa, j'ai un truc super sympa. Donc je vous incite vraiment à faire ça quand vous avez des racines qui se promènent au dénominateur, passez à la forme conjuguée, entre guillemets. Passons à présent à notre conclusion. Sine hyperbolique de arg cosine hyperbolique est égal à x²-1 à la racine. C'est merveilleux cet exercice, c'est pour ça que je vais dans tous les sens, on a tellement de choses à dire, et pourtant il est tellement simple en apparence, il fait vraiment appel à beaucoup d'astuces et beaucoup de calculs, j'adore, là je prends mon pied. Passons à présent à tangente hyperbolique de arg cosine hyperbolique de x. On sait que tangente hyperbolique c'est sine hyperbolique sur cosine hyperbolique. Je réinjecte à l'intérieur, en haut c'est vraiment analogue à la première simplification qu'on a faite, et en bas c'est un sine hyperbolique de arg sine hyperbolique, on le remplace par x, c'est tout. Conclusion, tangente hyperbolique de arg cosine hyperbolique de x est égal à racine de x²-1 divisé par x. Passons à la dernière question, qui est cosine hyperbolique de 3 arg cosine hyperbolique de x. Voilà ce que j'ai envie de faire, comme lorsqu'on avait notre fameux sine hyperbolique de 2 arg sine hyperbolique, on pense au a plus b, et ça on va le faire plusieurs fois, parce qu'on avait un 2 ici et un 3, donc il va falloir segmenter le calcul. Ce que j'ai fait c'est que je pose u est égal à arg cosine hyperbolique de x. On a alors cos hyperbolique de 3u est égal à cos hyperbolique de 2u plus cos hyperbolique de u plus sin hyperbolique de 2u plus sin hyperbolique de u. En posant a est égal à 2u et b est égal à u. Mais on n'a pas fini, on a encore un 2u qui se promène. J'applique la formule, cette fois-ci à a est égal à u et b est égal à u, et ce pour le sine hyperbolique et pour le cosine hyperbolique. On y va, on mène nos calculs à bien, et puis on réinjecte là-dedans. Maintenant on peut simplifier, et on trouve que mon cos hyperbolique de 3u est égal à x fois 4x² moins 3. C'était plus compliqué en termes de calcul, mais en termes de réflexion, il faut du courage et bien connaître son cours.

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