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Dans cette vidéo, Corentin résout un exercice de mathématiques qui mélange théorème d'analyse générale et trigonométrie. Il montre que l'équation arg s h de x plus arg c h de x est égale à 1 a une unique solution, qu'il détermine ensuite en se servant du théorème de l'abjection et en passant au s h des deux côtés de l'équation. En utilisant des formules de trigonométrie, il simplifie l'équation et obtient que alpha est égal à 1 plus s h de 1 au carré divisé par 2 s h de 1.

Salut à tous, c'est Corentin. Bienvenue dans cette nouvelle vidéo. On se retrouve aujourd'hui sur un exercice que je trouve assez intéressant puisqu'il mélange théorème d'analyse générale et trigonométrie. Alors cet exercice, quel est-il? On nous demande de montrer que l'équation arg s h de x plus arg c h de x est égale à 1, à nous une unique solution, puis de la déterminer. Commençons tout de suite. Moi ce que je vous propose de faire, c'est de penser l'équation comme une équation du type f de x est égale à c, avec f de x une fonction qui est égale à arg s h de x plus arg c h de x, et c est égale à 1. À partir de là, montrer qu'à la nuit une unique solution, ça doit immédiatement nous rediriger vers le théorème de l'abjection, que je vous rappelle ici. Pour toute application f de a b dans R, continue et strictement monotone, alors pour tout réalcé compris entre f de a et f de b, il existe un unique x-indice c vérifiant f de x-indice c est égal à c. Montrons donc maintenant notre existence et unicité de la solution. Soit donc f de x est égal à arg s h de x plus arg c h de x, f est bien défini, continue, strictement croissante sur 1 plus l'infini comme somme de deux fonctions continue et strictement croissante, et de plus f de x est envers plus l'infini lorsque x est envers plus l'infini, et f de 1 est égal à arg s h de 1, qui est strictement inférieur à 1. On en déduit donc par le théorème de l'abjection que f de x est égal à 1, à nous une unique solution alpha. Nous reste donc maintenant à déterminer ce alpha. Petit rappel, notre équation c'est donc 1 est égal à arg s h de alpha plus arg c h de alpha, et la seule solution pour se débarrasser de arg s h et de arg c h c'est malheureusement de passer au s h ou au c h. Je dis malheureusement parce que ça va nous amener vers des calculs assez compliqués et où il va falloir vraiment être rigoureux et concentré, et ça malheureusement c'est pas nos spécialités. Alors qu'est ce que je fais? Je passe au s h des deux côtés. J'ai s h de 1 est égal à s h de arg s h plus arg c h de alpha. Là ce que je vous propose de faire c'est un petit rappel parce que vous les voyez venir les formules de trigon, qui nous dit que s h de a plus b est égal à s h de a fois c h de b plus c h de a fois s h de b, et 1 est égal à s h de a au carré moins c h de a au carré. Attention c'est bien un moins et pas un plus comme c'est le cas pour les sinus et cosinus. A partir de là j'applique ma première formule à s h de arg s h alpha plus arg c h alpha et je remarque quoi? Bah qu'il dit ça va bien se passer s h de arg s h alpha ça fait alpha c h de arg c h alpha ça fait alpha mais ici j'ai mes s h de arg c h et des c h de arg s h et là immédiatement deuxième technique qui nous dit que s h de arg c h alpha au carré c'est égal à 1 plus c h de arg c h alpha au carré et ça je peux le simplifier. On en dit donc que s h de arg c h alpha est égal à 1 plus alpha au carré à la racine. C'est vraiment une technique qu'il faut avoir en tête quand vous rencontrez des s h de arg c h ou des sinus de arg cosinus il faut avoir cette technique là d'utiliser ce type de formule pour se ramener à quelque chose qui nous arrange. A partir de là je l'applique aussi à mon c h de arg s h la même technique et j'en déduis que s h de 1 est égal à alpha carré plus racine de alpha puissance 4 moins 1 à la racine. Je l'ai déjà dit à la racine mais j'aime bien la racine. A partir de là je passe au carré des deux côtés pour me débarrasser de la racine je développe j'isole mon alpha et je trouve alpha carré est égal à 1 plus s h au carré de 1 divisé par 2 s h de 1. Comme alpha est supérieur égal à 0 je passe à la racine des deux côtés sans me poser tellement de questions sur le signe que je vais obtenir à la fin et j'obtiens que alpha est égal à 1 plus s h de 1 au carré divisé par 2 s h de 1.

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