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PGCD

Dans cet exercice, on cherche le PGCD de deux entiers A et B qui dépendent de n. On commence par éliminer n en faisant une combinaison linéaire de A et B. On trouve que le PGCD divise 5, ce qui nous permet de réduire les possibilités à 1 ou 5. On étudie ensuite chaque cas : si le PGCD est 5, n doit être congru à 1 modulo 5, sinon, le PGCD est 1.

Salut! Dans cet exercice, on va encore voir un PGCD qui va dépendre de n. Donc là, on nous dit qu'on a deux entiers, A qui vaut n plus 4 et B qui vaut 3n plus 7. D'accord? Donc les deux, ils dépendent de n, qu'un entier naturel quelconque pour le moment. Et on nous demande de déterminer le PGCD de A et B suivant les valeurs de n. Bon, pour l'instant, on ne sait pas trop par où partir, donc on va essayer de voir ce qu'on peut faire. Donc déjà, on note D, le PGCD de A et B. Donc là, ce qu'il faut faire, c'est... on aimerait bien se débarrasser un peu de n pour juste se concentrer sur le PGCD. Donc, on va faire une combinaison linéaire de B et de A pour faire sauter les n. Parce que D, c'est le PGCD de A et B, donc il divise A, il divise B, et donc il divise n'importe quelle combinaison linéaire, entière bien sûr, de A et de B. Donc en particulier, il va diviser 3A moins B. 3A moins B, ça fait sauter les n, donc ça veut dire qu'il divise 5. Et bien ça, c'est une information précieuse, parce que si le PGCD divise 5, étant donné que 5, il est premier, ça veut dire que D, c'est soit 1, soit 5. C'est les seules possibilités, comme diviseur, de 5. Et bien du coup, on va regarder toutes ces situations une par une, enfin il n'y en a que deux, mais on va regarder ce qui se passe. Donc si D, c'est égal à 5, ça veut dire que A est congru à 0 modulo 5. Si D divise A, et que D, c'est égal à 5, c'est à dire en gros, si A, c'est un multiple de 5, A, il est congru à 0 modulo 5. Donc A, c'est n plus 4, donc si n plus 4 est congru à 0 modulo 5, ça veut dire que n est congru à 1 modulo 5. D'accord? Ensuite, on a la situation où D est égal à 1. Et si D est égal à 1, ça veut dire que n n'est pas congru à 1 modulo 5. Donc finalement, le PGCD de A et B, c'est 5 si et seulement si n est congru à 1 modulo 5, et c'est 1 si et seulement si n n'est pas congru à 1 modulo 5.

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