Home

Terminale

Maths Expertes

Arithmétique

PGCD

Dans cet article, nous étudions un exercice sur le PGCD et les suites. Nous avons une suite définie sur n, avec u0 = 0 et u1 = 1, et une relation de récurrence. Nous avons également une autre suite, vn, définie comme étant un + 1 - un. Nous montrons que vn est une suite géométrique de raison 2 et que le terme initial v0 est égal à 1. Nous déduisons ensuite que pour tout entier n, un est un entier naturel et que un + 1 est égal à 2 fois un + 1. Nous utilisons ensuite une somme télescopique pour montrer que un est un entier. Enfin, nous utilisons le théorème de Bézout pour montrer que deux termes consécutifs de la suite sont premiers entre eux.

Salut, dans cet exercice, on va voir un exos sur le PGCD et on va intégrer un peu de suites là-dedans. On nous parle d'une suite définie sur n par u0 est égale à 0 et u1 est égale à 1, et du coup on a une relation de récurrence que un plus 2 c'est 3 un plus 1 moins 2 un. On nous donne une autre suite vn, qu'on définit comme étant un plus 1 moins un. Il faut montrer que c'est une suite géométrique, dont on déterminera la raison et le premier terme. Pour montrer que c'est une suite géométrique, on va calculer vn plus 1 et on va essayer d'écrire que vn plus 1 c'est quelque chose fois vn. C'est parti, on se lance, on va voir où ça nous mène. Vn plus 1 c'est un plus 2 moins un plus 1. Un plus 2, on remplace par cette écriture là. Donc ça nous fait 3 un plus 1 moins 2 un, moins du coup un plus 1 qui traîne d'ici. On regroupe les un plus 1 ensemble, ça nous en fait 2. On factorise par 2 du coup, ça nous fait 2 facteurs de un plus 1 moins un. Un plus 1 moins un, on reconnaît tout de suite que c'est ici vn. Donc là on a 2 fois vn. Finalement on a montré que c'est une suite géométrique de raison 2. Et le terme initial, donc v0, c'est u1, c'est égal à 1. Donc vn c'est une suite géométrique de raison 2. Et le terme initial v0 est égal à 1. Ensuite, on nous dit en déduire que pour tout entier n, un c'est un entier naturel. Et que un plus 1 est égal à 2 fois un plus 1. Donc là, c'est un peu bizarre comme question parce qu'on nous parle d'une suite vn. On nous demande de montrer qu'elle est géométrique et ensuite on nous parle de en déduire. Donc de cette question, il faut en déduire quelque chose. A priori, ça saute absolument pas aux yeux ce qu'on nous demande. Mais ce qu'il faut remarquer, c'est que vn, elle n'est pas construite n'importe comment. Vn c'est un terme de un moins celui d'avant. Donc quelque chose à quoi il faut penser, c'est une somme télescopique. Parce que quand on va additionner tous les vn, ça va nous faire une somme télescopique. Parce que par exemple on va avoir u1 moins u0, plus u2 moins u1, plus u3 moins u2. Et à chaque fois, comme une somme télescopique, il va rester que le dernier moins le premier. Et ça, ça va nous donner une information sur potentiellement un voire un plus un. Donc on va regarder ce qui se passe. La somme des termes de vn, comme je disais, c'est une somme télescopique. Donc on a que la somme de k égale 0 à n des vn, c'est le dernier terme, ça veut dire vn. Donc c'est un plus un moins le premier terme u0. Et ça, ça nous fait un plus un, parce que le premier terme u0, c'est 0. Donc finalement, la somme de 0 à n des vn, des termes de la suite, c'est juste un plus un. Sauf que la suite vn, c'est une suite géométrique. Donc cette somme-là, on la connaît. On peut la calculer, on a une formule pour la suite géométrique. C'est que la somme d'une suite géométrique, c'est le terme initial, donc v0, fois 1 moins q, donc la raison de puissance n plus 1, le nombre de termes, il y en a n plus 1, sur 1 moins q. On remplace par ce qu'on sait, v0, on sait que c'est 1, la raison, on sait que c'est 2. On fait le calcul et on trouve 2 puissance n plus 1 moins 1. Ça nous dit que u n plus 1, c'est 2 puissance n plus 1 moins 1. Ça, pour tout entier naturel, ça veut dire que c'est un entier. u n plus 1 est toujours entier, donc avec un petit décalage d'indice tout simple, u n, c'est un entier, pour n'importe quel n appartenant à n, u n est un entier. Et on nous demandait aussi de vérifier quelque chose, c'est que u n plus 1 est égal à 2 u n plus 1. u n, c'est 2 puissance n plus 1, donc 2 u n plus 1, c'est 2 fois 2 puissance n moins 1 plus 1. Donc, on développe ici, ça nous fait 2 puissance n plus 1 moins 2 plus 1. Et là, on se retrouve avec 2 puissance n plus 1 moins 1, et ça c'est exactement u n plus 1. Donc on a bien ce qu'on nous demandait, que ça, 2 u n plus 1, c'est égal à u n plus 1. Ensuite, dans la dernière question, en déduire que deux termes consécutifs de la suite sont premiers entre eux. Là, quand on voit ça, ça peut ne pas paraître évident, mais cette égalité nous donne quasiment le résultat. Parce que, pour montrer qu'ils sont premiers entre eux, on va utiliser le théorème de Bézout. Le théorème de Bézout, ça veut dire qu'une combinaison linéaire entre ces deux trucs, donc entre u n et u n plus 1, si on trouve 1, c'est bon, le PGCD c'est 1. C'est le théorème de Bézout qui nous dit ça. Donc là, c'est ce qu'on va faire. On a que 2 u n plus 1 est égal à u n plus 1. Donc 1, c'est égal à u n plus 1 moins 2 u n. On passe tout simplement celui-là de l'autre côté. Donc là, le théorème de Bézout nous dit que le PGCD de u n et de u n plus 1, c'est exactement égal à 1. Donc ils sont bien premiers entre eux, de termes consécutifs.

PGCD et Suite

RELATED

Recommended videos

Déterminer un PGCD

Différence et quotient

PGCD qui dépend de n