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PGCD

Dans cet exercice, on cherche un couple A et B qui ont un PGCD de 42 et un PPCM de 1680. On utilise une méthode où l'on extrait des diviseurs premiers de A et de B qui sont premiers entre eux, puis on simplifie l'équation en utilisant une formule qui relie le PGCD et le PPCM. Après simplification, on obtient que A'B' est égal à 40, et en excluant les diviseurs de 40 qui ne sont pas premiers entre eux, on obtient les deux possibilités suivantes : A est égal à 42 et B est égal à 1680 ou A est égal à 210 et B est égal à 336. Ces sont toutes les solutions du système d'équations avec le PGCD et le PPCM.

Salut! Dans cet exercice, on va chercher un couple A et B dentier naturel en utilisant une relation avec leur PGCD et leur PPCM. Alors une information qu'on nous donne c'est que leur PGCD vaut 42 et leur PPCM vaut 1680. Bon, là ce qu'on va faire c'est utiliser ces infos pour voir ce qu'on peut faire. Donc une des méthodes à faire quand c'est comme ça c'est d'extraire des diviseurs premiers de A et de B, enfin diviseurs premiers entre eux pardon. Donc ce qu'on va faire, étant donné que le PGCD des deux nombres c'est 42, il existe A' et B' qui sont premiers entre eux, qui vérifient que A est égal à 42 A' et B est égal à 42 B'. Donc ça c'est vraiment, c'est le fondamental, c'est quelque chose qu'on utilise très souvent avec le PGCD de deux nombres quand on cherche à montrer, à les trouver ou à trouver des relations entre eux. On utilise ça et après on va simplifier par ça parce que ça nous arrange bien. Donc, ayant fait ça, on a besoin d'un petit rappel. Donc une formule qu'on va utiliser c'est que le produit de deux nombres c'est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM. Bon, ça maintenant on a tout ce qu'il nous faut, on n'a plus qu'à remplacer et ça nous fait 42 A' donc ça c'est A, 42 B' c'est B, pardon, est égal à 42 qui est leur PGCD, fois 1680 qui est leur PPCM. On simplifie par 42 ici et là, ensuite 1680, ça saute pas aux yeux, mais c'est 42 fois 40. Donc on peut aussi simplifier 42 ici et il reste 40. Donc on se retrouve avec A' B' est égal à 40. Donc ça veut dire que A' et B' sont tous les deux des diviseurs de 40. Alors on pourrait penser qu'il y a beaucoup de choix parce que les diviseurs de 40 il y en a beaucoup. On peut avoir 2 fois 20, 4 fois 10, etc. Mais il y a cette information qui est cruciale, ils sont premiers entre eux. Si on exclut tous ceux qui ont des diviseurs communs dans les diviseurs de 40, donc ça veut dire par exemple si on fait 2 fois 20, il y a deux qui sont en commun, ils ne sont pas premiers entre eux. Si on exclut tout ça, les seules possibilités qui restent, donc on a besoin de faire une petite supposition parce qu'on ne nous le dit pas, on a besoin de supposer que A est plus petit que B, quitte à échanger le rôle, c'est symétrique, on a besoin de supposer que A est plus petit que B par exemple. Et donc les possibilités pour A' et B' c'est 1, 40 et 5, 8. C'est les seules possibilités de diviseurs de 40 qui sont premiers entre eux. Donc finalement, en utilisant ça, on va se ramener à A et à B et donc les possibilités pour A et B sont A est égal à 42 et B est égal à 1680 ou A est égal à 210 et B est égal à 336. Donc voilà toutes les solutions de ce système d'équations avec le PGCD et le PPCM.

PGCD+PPCM

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