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Suites : applications avancées

Les suites arithmético-géométriques sont un cas particulier des suites définies par récurrence. Si la suite est définie par une relation "un+1 = ax+b" avec "a" différent de 1, alors il existe un point fixe "l=b/(1-a)" qui est la seule limite possible de la suite. Pour déterminer si la suite converge, on introduit une suite auxiliaire "vn=un-l", qui, si la suite converge, est géométrique de raison "a". Si "a" est supérieur à 1 en valeur absolue, la suite diverge vers plus infini, sauf si la valeur initiale est égale à 0. Si "a" est égal à moins 1, la suite oscillera entre deux valeurs. Si "a" est inférieur à 1 en valeur absolue, la suite converge vers "l". En application à un carré divisé en neuf carrés, si le carré central est colorié et que pour chaque étape on colore le carré central de chaque carré restant, le carré finira entièrement colorié. Retenez la méthode du point fixe et de la suite auxiliaire pour maîtriser les suites arithmético-géométriques.

Bonjour à tous! Parmi toutes les suites définies par récurrence, avec une relation du type un plus un égal f de un, il y a les suites arithmético-géométriques. En cas particulier, vous l'avez déjà vu dans le nom en terminale. En snoop, ce n'est pas vraiment dans le cours, mais franchement je vous conseille d'apprendre par coeur cette méthode, de savoir bien la refaire, parce que c'est un énorme classique et ça peut tomber à n'importe quel moment, et c'est toujours bien de savoir bien maîtriser. Donc c'est parti! Alors comme je le disais, les suites arithmético-géométriques, c'est un cas particulier des suites définies par récurrence. Ici, ma suite un est définie par une relation de récurrence un plus un égal f de un, avec f de x égal ax plus b, donc c'est une fonction affine. On va traiter le cas a différent de 1, parce que si a égal 1, c'est une suite arithmétique, et vous savez le traiter. La première question nous demande quelle peut être la seule limite possible de un. On ne sait pas encore qu'elles convergent, mais si elles convergent, par passage à limite, un converge vers l, un plus un converge vers l, et donc j'ai l qui vérifie al plus b. Je me retrouve avec l égal b sur 1 moins a. J'ai le droit de dire ça, puisque a est différent de 1. L, c'est le fameux point fixe de ma courbe CF. Ça correspond à quoi? Si je trace la fonction y égal x et l'autre droite, elles se coupent forcément en un endroit si elles ne sont pas parallèles. Evidemment, on sait quoi le cas où elles sont parallèles. f de x égal x, et g de x égal ax plus b, c'est si a égal 1. Si a n'est pas égal à 1, les deux droites ne sont pas parallèles, elles vont forcément se couper en un point, donc j'ai forcément un point fixe. L existe et est égal à b sur 1 moins a. Si ça converge, ça tend vers a, mais ça ne veut pas dire que ça converge. Là, on va regarder quand ça converge. La technique, c'est d'introduire la fameuse suite auxiliaire u vn égal un moins l. C'est ça dont il faut vous souvenir, c'est trouver quelle peut être la limite, et ensuite on étudie un moins cette limite. Pourquoi? Parce que quand je fais vn égal un moins l, l, l'avantage, c'est qu'il vaut b sur un moins a. Donc vn plus 1, si je dis cette suite, ça vaut un plus 1 moins b sur un moins a. Et donc je remplace un plus 1 par l'expression, ça vaut a un plus b, moins b sur un moins a. Lui, on se doute que ce a, ça va être le q pour q fois vn. Nous, on espère trouver que cette suite est géométrique, donc a priori, ça sera lui. Et donc là, je remplace vn plus 1, je fais un peu de calcul, ça fait a fois un, et ensuite, tous les autres termes, je mets au même dénominateur, et ça fait un moins a fois b moins b sur un moins a. Ça simplifie, et magique que magie, ça fait a fois un moins b sur un moins a, donc ça fait a fois vn. Donc finalement, ma suite, c'est ça tout l'intérêt de poser cette suite là, cette suite vn, elle est géométrique de raison a. Et donc là, vous avez l'habitude, maintenant ça va être facile, donc je vais pouvoir donner son expression. Et d'ailleurs, on voit dans quel cas ça converge ou ça diverge. Comme c'est une suite géométrique, c'est que si a est supérieur à 1 en valeur absolue, vn va tendre vers plus infini, et donc un aussi, puisque c'est juste qu'il y a une différence de l entre les deux. Sauf si, c'est un cas un peu particulier, mais en maths c'est toujours important, sauf si v0 est égal à 0, et donc vn, malgré le fait que a est supérieur à 1, vn sera tout le temps égal à 0, et donc u0 est égal à l, ce qui n'a pas vraiment d'intérêt, mais ce cas existe. Maintenant, si a est égal à moins 1, on a un qui va aussi entre deux valeurs, et donc un aussi, et si a est inférieur à 1 en valeur absolue, j'ai vn qui tend vers 0, et donc un qui va tendre vers l. Et le cas a égal à 1 est exclu par hypothèse. Donc finalement, on le retrouve, le cas qu'on voulait voir, c'est quand est-ce que la suite un converge? Pas toujours. Il faut que a soit plus petit que 1, strictement en valeur absolue. Maintenant on va faire une petite application. Dans l'application, on considère un carré de côté 1, on le partage en 9 carrés, et on colorie que le carré central. Ensuite, on réitère le procédé. Grosso modo, je prends mon carré, je le coupe en 9, et je colorie celui du milieu. Ensuite, pour chaque carré qui reste, on va faire la même chose, et je colorie celui du milieu, et je le colorie aussi. Ensuite, on va encore recouper. Voilà le principe. Maintenant, il faut trouver la relation de récurrence associée à cette géométrie. Qu'est-ce qu'il se passe? Si on appelle un la partie coloriée, un plus un c'est la partie d'avant, parce qu'on ne décolorie pas, tout ce qui est colorié reste colorié. Ensuite, sur ce qui reste, on va colorier un neuvième. Ce qui reste c'est quoi? C'est 1 moins un à l'étape n. C'est 1, qui est l'ère totale du carré, moins ce qui était déjà colorié. Et ça, on va encore colorier un neuvième de ça. Maintenant que j'ai mon expression mathématique, je me lance dans les calculs. Je simplifie, ça me fait un plus un égal 8 neuvième de un plus un neuvième. Je remarque que mon a est entre 0 et 1, strictement. Donc je sais que un va converger vers l. Avec l, je reprends mon expression de tout à l'heure, ça fait 1. Donc la conclusion c'est, à force, tout le carré va finir par être colorié si je fais un nombre infini d'étapes. Voilà pour les suites arithmétiques au géométrique, c'est pas très compliqué. Il faut juste connaître la méthode. Je trouve le point fixe, l, et ensuite j'ai du poser la suite vn égale un moins l, qui va être géométrique, et c'est fini. C'est juste ça, donc retenez ça et ce sera très bien.

Suite arithmético géométrique

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