Home

Terminale

Maths Expertes

Arithmétique

Nombres Premiers

Dans cette transcription de vidéo, nous apprenons comment résoudre une équation en trouvant les solutions entières de l'équation x² + 2x + 1 = 84. Pour ce faire, nous utilisons la décomposition en facteurs premiers de 84, soit 2² x 3 x 7, pour trouver toutes les possibilités d'écriture de 84 comme un produit de trois facteurs distincts. Nous trouvons deux possibilités: 2 x 3 x 14 et 3 x 4 x 7. En testant ces deux possibilités, nous trouvons que la seconde est la bonne, car elle correspond à x = 3. Ainsi, nous avons résolu l'équation rapidement.

Salut, bienvenue dans cet exercice dans lequel on va mélanger décomposition en facteur premier et équation. Là, ce qu'on veut, c'est résoudre dans n cette équation, ça veut dire trouver les solutions entières de l'équation x fois x plus 1 fois 2x plus 1 égale 84. Là, on manipule des entiers, on a un produit est égal à 84, il faut tout de suite penser à faire la décomposition en facteur premier parce que c'est le seul moyen d'avoir un produit d'entier est égal à 84. Donc là, on fait la décomposition de 84, 84 c'est 2 fois 42, donc 2 fois 6 fois 7, 2 et 7 sont premiers, il ne reste plus qu'à décomposer 6, donc ça fait 2 fois 2 fois 3 fois 7, on regroupe ça pour afficher qu'un nombre premier à chaque fois avec les puissances correspondantes, ce qui nous fait 2 au carré fois 3 fois 7 pour 84. Donc, maintenant, on sait que x fois x plus 1 fois 2x plus 1 égale 84. Donc là, on a 1, 2, 3 facteurs égales 84. Ce qu'on va faire, c'est qu'on va voir toutes les possibilités d'écriture de 84 comme un produit de 3 facteurs. Donc, on va écrire 84 comme un produit de 3 facteurs distincts, parce que x est différent de x plus 1 qui est différent de 2x plus 1, forcément. Donc, on veut avoir un produit de 3 facteurs distincts. Donc, 84, on manipule un peu ça, donc on peut avoir 2 fois 6 fois 7, ça c'est exclu, parce que dans le produit, on a x et x plus 1. x et x plus 1 sont deux nombres consécutifs, parce qu'on rappelle que x est entier, donc x et x plus 1 sont consécutifs. Mais 2x plus 1, c'est le plus grand des trois facteurs. Donc là, dans le produit de 3 nombres entiers qui doit faire 84, on doit avoir deux nombres consécutifs, fois un autre nombre qui est plus grand. Donc là, on a bien nos deux nombres consécutifs, mais l'autre nombre c'est 2 et il est plus petit, donc ça c'est exclu. Ensuite, l'autre possibilité, c'est on a 2 fois 3 fois 14. Donc là, on a bien un produit de 2 nombres consécutifs, fois un autre nombre plus grand, ok? C'est la possibilité numéro 1. Ou sinon, on a 3 fois 4 fois 7, donc là on a encore deux nombres consécutifs, fois un plus grand, et ça c'est la deuxième possibilité. Bon, il y a deux possibilités, on va étudier chacune d'elles indépendamment. Donc la première possibilité, 2 fois 3 fois 4, ça voudrait dire que x fois x plus 1 fois 2x plus 1 est égal à 2 fois 3 fois 14. Et donc, là tout de suite on identifie x et x plus 1, donc ça veut dire que x est égal à 2, x plus 1 est égal à 3, mais du coup on doit avoir que 2x plus 1 est égal à 14, et ça contredit le fait que x soit égal à 2. Parce que si x est égal à 2, 2x plus 1 est égal à 2 fois 2 plus 1, donc c'est égal à 5, et non à 14. Donc on ne retient pas la possibilité numéro 1. Il reste la possibilité numéro 2, on va voir ce qu'il en est, on espère que ça va marcher, parce que c'est la dernière piste qu'on a, on va quand même vérifier. Donc, là 3 fois 4 fois 7, donc même raisonnement, ça nous dit que x est égal à 3, x plus 1 est égal à 4, et 2x plus 1 est égal à 7. Là ça marche, parce que si x est égal à 3, donc on a bien x plus 1 est égal à 4, ça va OK, mais 2x plus 1, ça fait 2 fois 3 plus 1, ça fait bien 7, et ça correspond bien à ce qu'on trouve. Donc voilà. Et donc on a résolu cette équation rapidement, x est égal à 3, pour résoudre cette équation dans N, x fois x plus 1 fois 2x plus 1 est égal à 84.

Décomposition et équation

RELATED

Recommended videos

Décomposition en facteurs premiers

Critère d'arrêt : n est premier ?

Démo infinité des premiers

Nos années

Nos principales matières