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Nombres Premiers

Cet exercice consiste à déterminer le nombre de diviseurs de 300 puissance 300. En décomposant ce nombre en facteurs premiers (3 fois 2 au carré fois 5 au carré), on peut obtenir sa décomposition en facteurs premiers. En utilisant une formule simple de dénombrement, on peut alors calculer le nombre de diviseurs (301 fois 601 fois 601), qui est égal à 108 721 501 diviseurs. Pour trouver un nombre avec plus d'un milliard de diviseurs, il suffit de multiplier le nombre de diviseurs par 10, ce qui peut être obtenu en ajoutant 7 puissance 9 à la décomposition en facteurs premiers de 300 puissance 300.

Salut! Dans cet exercice, on va compter le nombre de diviseurs d'un nombre, donc 300 puissance 300. On nous demande de décomposer 300 puissance 300 en facteur premier, et ensuite de conclure avec le nombre de diviseurs de ce gros nombre là. C'est parti, 300 puissance 300, c'est 3 fois 10 fois 10, donc c'est 3 fois 2 au carré fois 5 au carré. Maintenant, quand on met 300 à la puissance 300, ça nous fait 3 fois 2 au carré fois 5 au carré, puissance 300. Là, on distribue la puissance dans le produit, donc ça nous fait 3 puissance 300, 2 au carré fois 300, donc là c'est les puissances de puissance qu'on multiplie, donc ça fait 2 puissance 2 fois 300, donc ça fait 2 puissance 600, et pareil, 5 puissance 600. Alors maintenant, pour savoir combien il y a de diviseurs à tout ça, on a besoin d'un petit rappel. Si n, on a sa décomposition en facteur premier qui est égale à P1 puissance alpha 1 fois P2 puissance alpha 2, etc. n, alors il admet alpha 1 plus 1 fois alpha 2 plus 1 fois alpha 3 plus 1, etc. fois alpha k plus 1 diviseur. Donc en gros, quand on a un nombre avec sa décomposition en facteur premier, on prend toutes les puissances, on leur ajoute 1, on multiplie tout ça, et c'est le nombre de diviseurs. Ça, c'est du dénombrement tout simple. On peut le voir si on commence à faire la liste un peu de tout ce qui se passe. Là, faire une liste avec 300, 600 et 600, ce serait incroyablement long, mais si on a des petites puissances, genre 2, 3 et 1 par exemple, on voit très vite que c'est cette formule qu'on va utiliser même sans se rendre compte, mais si on veut généraliser, il faut savoir qu'on a tous ces diviseurs, il ne faut pas oublier de rajouter 1 à chaque fois, parce qu'on pourrait, dans la liste des diviseurs, 3, il va de la puissance 0 à la puissance 300. Ça, ça fait 300 plus 1 possibilité. Donc voilà. Et alors si on fait le calcul, 300, du coup, il a 301 fois 601 fois 601 diviseurs, et ça, ça nous fait du coup 108 721 501 diviseurs pour 300 puissance 300. Alors, maintenant, question 2. À partir du résultat de la question 1, trouver un nombre possédant plus d'un milliard de diviseurs. Bon, on est à 100 millions, on n'est pas si loin que ça en fait, parce qu'il en faut 10 de plus, et vu qu'on multiplie à chaque fois le nombre de diviseurs, il en faut 10 de plus, parce qu'on multipliera le 108 millions par 10, et on atteindra le milliard. Et donc, comme je disais, il faut multiplier par 10 le nombre de diviseurs, donc en prenant par exemple 7 puissance 9, ça marche, parce que 7 puissance 9, ça rajoute 9 plus 1 diviseur, donc 10 diviseurs, et donc, on va les multiplier, enfin, j'ai dit diviseurs, pardon, dit possibilité, et donc on va multiplier par 10 tous ces diviseurs-là, dans cette formule-là, et donc on atteindra le milliard de diviseurs pour 300 puissance 300 fois 7 puissance 9. Donc voilà pour cet exercice.

Nombre de diviseurs

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