Home

Terminale

Maths Expertes

Arithmétique

Nombres Premiers

Dans cet exercice, on doit démontrer que pour tout nombre premier P différent de 3 et tout entier n, 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est divisible par P. Pour cela, on utilise le petit théorème de Fermat qui énonce que si A est un nombre entier et P un nombre premier qui ne divise pas A, alors A puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P. En appliquant ce théorème avec 3 et P, on obtient que 3 puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P. Ensuite, en multipliant cette équation par 3 puissance N plus 1 et en simplifiant, on montre que 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est congruent à 0 modulo P, prouvant ainsi la divisibilité recherchée.

Salut! Alors dans cet exercice, on va utiliser le théorème de Fermat, mais pour l'instant on va voir quand est-ce qu'on en a besoin et comment on l'utilise. Donc on nous dit, P c'est un nombre premier différent de 3, et il faut démontrer que pour tout n appartenant à N, 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est divisible par P. Là ça ne saute pas forcément aux yeux, mais on va utiliser le théorème de Fermat. Donc le petit théorème de Fermat. Parce qu'on a une soustraction, et on voit que si on factorise, soit on le fait au brouillon, soit on arrive à voir de tête ce qui se passe, si on factorise par 3 puissance N, on se retrouve avec quasiment le théorème de Fermat explicite sous nos yeux. Donc c'est ça qu'on va utiliser. Pour rappel, le petit théorème de Fermat. Donc si on a A, un nombre entier, P, un nombre premier qui ne divise pas A, alors on a que A puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P. C'est ça qu'on va utiliser. Donc là, ce qu'on veut montrer, on rappelle, c'est que 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est congrue à 0 modulo P. On traduit la divisibilité en congruence. Donc on va voir si on peut utiliser le théorème de Fermat. On nous précise dans l'énoncé un nombre premier différent de 3. Étant donné que c'est un nombre premier différent de 3, et que 3 est un nombre premier, ça veut tout simplement dire que P ne divise pas 3. Donc on peut appliquer le théorème de Fermat avec 3 et P. Donc P est premier différent de 3, donc voilà, d'après le petit théorème de Fermat, on écrit le petit théorème de Fermat, on a 3 puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P. Ensuite, ce qu'on fait, c'est qu'on va faire apparaître ce résultat là. Donc on veut faire apparaître la puissance N plus P et la puissance N plus 1, enfin le 3 puissance N plus 1. Donc on va multiplier cette congruence par 3 puissance N plus 1. Avant, on va tout passer d'un côté pour retrouver le 0. Et donc maintenant on multiplie par 3 puissance N plus 1, et on se retrouve du coup avec 3 puissance N plus 1 fois 3 puissance P moins 1, moins 3 puissance N plus 1. Donc le 3 puissance N plus 1 qu'on cherchait, on l'a, et en fait ça, on additionne les puissances, vu que c'est 3 à 2 puissances différentes en produit, on additionne les puissances. Ça fait N plus 1 plus P moins 1, ça fait N plus P. Et donc finalement, on a bien montré que 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est congruent à 0 modulo P.

Utiliser Fermat 1/2

RELATED

Recommended videos

Décomposition en facteurs premiers

Critère d'arrêt : n est premier ?

Démo infinité des premiers