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En utilisant le petit théorème de Fermat, on montre que 4 puissance 28 moins 1 est divisible par 29. Pour montrer que 4 puissance n moins 1 est divisible par 3 pour toute n, on utilise la congruence 4 puissance n est congruent à 1 modulo 3. En utilisant des congruences, on montre que 4 puissance 4k moins 1 est divisible par 5 et par 17. Finalement, on déduit que 4 puissance 28 moins 1 est divisible par 3, 5, 17 et 29, ce qui nous permet de déduire quatre diviseurs premiers de 4 puissance 28 moins 1.

Salut! Dans cet exercice, on va utiliser le théorème de Fermat, le petit théorème de Fermat. Donc première question, on nous dit montrer que 4 puissance 28 moins 1 est divisible par 29. Là ça saute vraiment aux yeux qu'il s'agit du petit théorème de Fermat, parce que je fais un petit rappel, donc le petit théorème de Fermat, si on a A, un nombre entier, P, un nombre premier qui ne divise pas A, on a que A puissance P moins 1, qui est congruent à 1 modulo P. Donc une autre façon de le voir, c'est si on passe le 1 de l'autre côté, ça fait A puissance P moins 1, moins 1, congruent à 0 modulo P, donc divisible par P. Donc là c'est ce qu'on a. Ici on retrouve le P moins 1, le P, et le A puissance P moins 1, moins 1 du coup. Bon, clairement c'est le petit théorème de Fermat qu'il faut utiliser ici. Donc c'est ce qu'on va faire. Donc là, bon, il faut montrer ce résultat-là, il n'y a plus qu'à dérouler les hypothèses. 29, c'est un nombre premier, 29 ne divise pas 4, donc d'après le petit théorème de Fermat, 4 puissance 28 est congruent à 1 modulo 29, 28 étant 29 moins 1. Donc en passant le 1 de l'autre côté, 4 puissance 28 moins 1 est congruent à 0 modulo 29, donc en gros, 29 divise 4 puissance 28 moins 1. Deuxième question, on nous dit, montrer que pour toute n, 4 puissance n moins 1 est divisible par 3. Alors là, il n'y a pas forcément de théorème de Fermat à utiliser, parce que la puissance, on ne la connaît pas, et surtout on nous dit pour toute n. Donc dans le théorème de Fermat, la puissance doit forcément être P moins 1, donc là ce serait 2. Donc ce n'est pas forcément le théorème de Fermat qu'il faut utiliser, on va voir ce qu'on peut utiliser. Donc on va montrer que 4 puissance n moins 1 est congruent à 0 modulo 3. Alors 4, on sait qu'il est congruent à 1 modulo 3, d'accord? 4, c'est 3 fois 1 plus 1, donc il est congruent à 1. Donc pour toute n, 4 puissance n est congruent à 1 puissance n, 1 puissance n c'est 1. Donc 4 puissance n est congruent à 1, et en le passant de l'autre côté, on a directement le résultat qui nous intéresse, c'est-à-dire que 4 puissance n moins 1 est congruent à 0 modulo 3, donc en gros, est divisible par 3. Ensuite, on veut montrer que, pour tout k, 4 puissance 4k moins 1 est divisible par 5 et par 17. Donc là c'est pareil, on va enchaîner les congruences, parce que, encore une fois, la puissance va varier, donc on ne va pas utiliser le théorème de Fermat. La puissance va varier, donc on va juste enchaîner les congruences pour répondre à la question. Donc on va voir déjà par 5. Donc 4 est congruent à moins 1 modulo 5, donc 4 au carré est congruent à moins 1 au carré, donc à 1 modulo 5, donc 4 puissance 4 c'est congruent à 4 au carré au carré, d'accord, 4 au carré, le tout au carré, donc ça, ça fait 1 au carré, c'est égal à 1, donc on a bien que 4 puissance 4 est congruent à 1 modulo 5, et donc, en mettant cette congruence à la puissance k, on a que 4 puissance 4 puissance k est congruent à 1 puissance k. Et donc on a quasiment fini, pareil que tout à l'heure, 1 puissance k c'est 1, on le passe de l'autre côté, ça nous fait moins 1, donc on a 4 puissance 4 k moins 1 congruent à 0 modulo 5. Donc voilà pour la divisibilité par 5, il reste la divisibilité, on nous demande, par 17, on va faire un raisonnement très similaire, mais avec 17, donc on en est là, donc on va montrer que 4 puissance 4 k moins 1 est congruent à 0 modulo 17, donc 4 au carré c'est 16, c'est congruent à moins 1 modulo 17. On passe au carré, donc on a 4 puissance 4 congruent à moins 1 au carré, donc à 1 modulo 17, pareil, on met tout ça à la puissance k, et on se retrouve avec 4 puissance 4 k congruent à 1 puissance k, mais du coup 1 modulo 17, on passe de l'autre côté, ça nous fait 4 puissance 4 k moins 1 congruent à 0 modulo 17, et donc voilà, on a aussi la divisibilité par 17. Dernière question, on nous dit en déduire 4 diviseurs premiers de 4 puissance 28 moins 1, donc voilà, alors étant donné que 28, on peut l'écrire comme 4 fois 7, on est dans ce cas de figure là, avec k égale 7, donc très rapidement on conclut que 4 puissance 28 c'est divisé par 3, 5, 17 et 29, en se basant sur les questions précédentes.

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