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Dans cet exercice, nous devons résoudre l'équation x²-2x2 congrue à 0 modulo 17. Tout d'abord, il est demandé de montrer que α = 5 est une solution de l'équation, ce qui est vérifié en remplaçant x par 5. Ensuite, en posant x = x-α, nous pouvons trouver toutes les solutions de E. En faisant cela, nous obtenons l'équation x + 5 au carré - 2(x + 5) + 2 congru à 0 modulo 17, que nous simplifions pour obtenir grand x carré + 8x congru à 0 modulo 17. En factorisant, nous pouvons dire que 17 divise soit x, soit x+8. Ainsi, nous avons deux possibilités : x est congru à 5 modulo 17 ou x est congru à 14 modulo 17. Donc, les solutions de E sont x congru à 5 modulo 17 ou x congru à 14 modulo 17.

Salut, bienvenue dans cet exercice où c'est une équation du second degré en congruence. Alors, le but c'est de résoudre l'équation du coup x²-2x2 congrue à 0 modulo 17. Première question, on nous demande de montrer que α égale 5 est une solution de E. Bon, ben là il y a juste à vérifier, on remplace x par 5. On trouve que, après calcul, on trouve que c'est 25-10 plus 2 ça fait 17. Bon ben 17 est congru à 0 modulo 17, assez évident. Donc α c'est bien une solution de E. Ensuite on nous dit, on pose x est égal à x-α et il faut trouver toutes les solutions de E. Alors, si x est égal à x-α, petit x moins alpha, ben petit x c'est grand x plus alpha. On passe juste l'alpha ici. Et donc ça fait x plus 5, parce qu'on a montré que α c'est égal à 5, on ne l'a pas montré mais on nous l'a dit. Donc c'est x plus 5. Et ben en fait ce qu'on va faire c'est on va remplacer petit x par grand x plus 5 dans cette égalité là. On va voir un peu ce que ça donne, pour l'instant on n'a pas d'autre piste, on fait ça, on va voir ce qu'il se passe. Donc on remplace E, du coup ça fait x plus 5, enfin grand x plus 5 au carré moins 2 fois grand x plus 5 plus 2 congru à 0 modulo 17. Nouvelle équation en grand x. Bon ben on fait les calculs, on simplifie. On se retrouve avec grand x carré plus 8x congru à 0 modulo 17. On factorise parce qu'on a de la congruence à 0 modulo 17, on fait un peu le même principe que si on avait une égalité. Donc on a grand x, facteur de grand x plus 8, congru à 0 modulo 17. Donc ça veut dire que 17 divise ce produit là. Mais, étant donné que 17 divise ce produit, et que 17 est premier, d'après le lemme de Gauss, 17 divise soit x, soit 17 divise x plus 8. Ça peut être les deux, mais ils divisent au moins un des deux. Donc x ou x plus 8. Donc on a deux possibilités. Possibilité numéro 1, possibilité numéro 2. On va étudier chacune des possibilités. Si 17 divise x, donc ça veut dire possibilité numéro 1, ça veut dire que grand x congrue à 0 modulo 17. Ce qui nous intéresse, c'est petit x. Donc on revient à petit x, ça veut dire que petit x est congru à 5 modulo 17. Ensuite, si grand x plus 8 congrue à 0 modulo 17, pareil, ça fait petit x plus 3 congrue à 0 modulo 17, et donc x est congru à moins 3, mais on préfère manipuler des nombres positifs, donc x est congru à 14 modulo 17. Finalement, on a toutes les solutions. Donc les solutions de E sont x congrue à 5 modulo 17 ou x congrue à 14 modulo 17. Et voilà pour cet exercice.

Congruence : équation degré 2

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