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Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice mathématique, on prouve que la fraction 9n+1/6n+1 est irréductible pour tout entier n. Pour démontrer cela, il faut rappeler que pour qu'une fraction soit irréductible, le PGCD du numérateur et du dénominateur doit être égal à 1. On utilise également le théorème de Bézout, qui dit que le PGCD de deux nombres est égal à 1 s'il existe deux coefficients u et v qui vérifient certaines conditions. En développant la fraction et en cherchant les coefficients u et v qui conviennent, on trouve que la solution est u=-2 et v=3. En utilisant le théorème de Bézout, on prouve que la fraction est irréductible pour tout n.

Salut! Dans cet exercice, on veut montrer que la fraction 9n plus 1 sur 6n plus 1 est irréductible pour tout entier n. Avant de se lancer, on a besoin de faire deux petits rappels. Une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Alors bien sûr, si on parle de nombres entiers. Et on rappelle aussi le thème de Bézout qui nous dit que le PGCD de nombres est égal à 1 si et seulement s'il existe u et v dans z tel que au plus bv est égal à 1. C'est ça qu'on va faire. On en déduit donc que la fraction est irréductible si et seulement s'il existe u et v dans z tel que 9n plus 1u plus 6n plus 1v est égal à 1. Alors, on va développer un peu ça. Ce qui est à gauche de l'égalité. Donc on a, après c'est de la distributivité très classique, on factorise par n et donc on a que n facteur de 9u plus 6v plus u plus v ça, ce truc là, doit être égal à 1 finalement. Parce que là, c'est cette expression mais on veut que ce soit égal à 1. Donc cette expression est égale à 1. Donc, si on veut que cette égalité soit vraie, on doit avoir ça égal à 1 mais du coup ça doit être vrai pour toute n. Et vu que ça doit être vrai pour toute n, il faut nécessairement que cette partie là, ça fasse 0. Parce que sinon, si ça ne fait pas 0, quand la valeur de n change, la valeur de tout ça change. Donc, il faut qu'on ait 9u plus 6v est égal à 0 et qu'on ait u plus v soit égal à 1. Donc, finalement, il faut résoudre 9u plus 6v est égal à 0 et u plus v est égal à 1. Il y a une solution qui saute aux yeux, qui est que u est égal à moins 2 et v est égal à 3. Donc on a juste besoin d'un u et d'un v qui vérifient pour montrer que ça marche, c'est égal à 1 et qu'ils sont premiers entre eux. Et donc, on les a trouvés. Donc finalement, on a que 9n plus 1 fois 2 plus 6n plus 1 fois 3 est égal à 1. Et du coup, le théorème de Bézout nous dit qu'ils sont premiers entre eux et vu qu'ils sont premiers entre eux, la fraction est irréductible pour toute n. Et voilà ce qui conclut cet exercice.

Fraction irréductible

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