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Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, on utilise les équations diophantiennes pour montrer que le point M appartient à la droite à B en utilisant les vecteurs AM et AB qui doivent être collinéaires. On obtient l'équation diophantienne 3x-5y=11, qui admet des solutions entières et une solution particulière (7,2). L'ensemble des solutions pour les coordonnées entières appartenant à la droite à B est donné par x=5k+7 et y=3k+2.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment utiliser les équations diophantiennes pour montrer qu'un point M appartient à la droite à B, sachant que la restriction qu'on donne, c'est que le point est des coordonnées entières. On nous dit que le point A a pour coordonnées 7, 2, le point B a pour coordonnées –3, –4, et le but c'est de montrer que le point M appartient à la droite à B, si cette égalité est vérifiée. Là, c'est assez simple. On va le faire avec les vecteurs. On va montrer que les vecteurs AM et AB doivent être collinéaires pour que ça marche. AM, les coordonnées de vecteur, maintenant on sait faire depuis le temps. Les coordonnées de AM, ça fait x-7 et y-2. Les coordonnées de AB, c'est –3, –7 et –4, –2. Ça fait –10, –6. Maintenant, ce qu'on sait, c'est que M appartient à la droite à B, si et seulement si AM et AB sont collinéaires, et deux vecteurs sont collinéaires, si quand on fait le produit en croix, comme ça, on a une égalité. Ça veut dire que ça x ça est égal à ça x ça. Donc –10 x y-2. Ils sont collinéaires, du coup, si on a –6 x x-7 est égal à –10 x y-2, on divise par –2 de chaque côté, ce qui nous fait 3 x x-7 est égal à 5 x y-2. Ce qui est exactement l'égalité qu'on nous demandait de retrouver. Donc c'est ça qu'on a, M appartient à B, si et seulement si on a cette égalité-là. Et donc, en déduire l'ensemble des points en coordonnées entières appartenant à la droite à B. Donc là, on a une égalité avec du x, du y, qu'on veut qu'ils soient entiers. Bon, ben, c'est une équation diophantienne, pardon. Donc là, on cherche x y dans z², tel que cette égalité soit vérifiée. Donc, on va essayer de lui donner une forme d'équation diophantienne. Ça veut dire qu'on va mettre toutes les inconnues d'un côté et les constantes de l'autre côté. Ce qui nous fait, après simplification, 3 x – 5 y est égal à 11. Donc voilà notre équation. Maintenant, ce qu'on sait, c'est que cette équation, enfin une équation diophantienne, admet des solutions. Si on a le PGCD des deux coefficients qui divise le coefficient, le terme constant à droite. Bon, ben là, PGCD de 3 et 5, c'est 1. Ça divise 11, il n'y a pas de souci. Donc, E admet des solutions entières. Ensuite, on trouve une solution particulière. Donc là, pour les solutions particulières, soit il y en a une qui saute aux yeux, ici ce sera le cas, soit on fait l'algorithme d'Euclide pour retomber sur le PGCD, ensuite on remonte et on multiplie pour tomber là-dessus et ça nous fait notre solution particulière. Donc là, une solution particulière, ici, qu'on peut trouver, c'est 7, 2. Il y en avait une autre assez simple. On peut prendre aussi 2 et – 1, ça marchait. Ça faisait 11 aussi. J'ai voulu prendre cette 2, histoire d'avoir que des noms positifs. Moi, je préfère personnellement, mais la solution particulière, on peut prendre celle qu'on veut. Donc voilà. Et donc, finalement, l'ensemble des solutions, c'est x-7 est égal à 5k, parce qu'on prend le coefficient devant y en négatif, donc ça fait – 5k, et y-2, donc la solution particulière, est égal à 3k, donc le coefficient devant x tel qu'il est. Et donc, en passant de l'autre côté, les solutions particulières qu'on a notées, ça fait x est égal à 5k plus 7, et y est égal à 3k plus 2. Donc voilà l'ensemble des points, enfin des coordonnées, des points coordonnées entières qui sont sur la droite AB. Merci beaucoup pour cet exercice.

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