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Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, on démontre que la racine de 2 est irrationnelle en utilisant le raisonnement par l'absurde. On suppose que la racine de 2 est rationnelle, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous forme de p/q, avec p et q premiers entre eux. En faisant des calculs, on obtient une contradiction, parce que p et q sont tous les deux pairs, ce qui contredit le fait qu'ils soient premiers entre eux. Donc, la racine de 2 ne peut pas être écrite sous forme de p/q avec p et q premiers entre eux, et donc elle est irrationnelle.

Salut! Dans cet exercice, on va montrer que racine de 2 est irrationnelle. C'est quelque chose de très classique, il faut absolument savoir le faire. La méthode la plus connue, et celle qu'on va voir ici, c'est d'utiliser le raisonnement par l'absurde. Le raisonnement par l'absurde, c'est on va supposer quelque chose et on va aboutir à une contradiction, donc notre supposition de départ sera fausse. Ici, on va supposer qu'il est irrationnel, on va supposer qu'il existe p et q dans Z étoile, premier entre eux, donc ça c'est très important, tel que racine de 2 est égale à p sur q. Donc ça, c'est n'importe quel nombre rationnel, on peut l'écrire comme p sur q, premier entre eux. Donc voilà. Donc, on va faire des calculs et on va voir si on aboutit à une contradiction ou pas. Donc ici, racine de 2 est égale à p sur q, on va passer le q de l'autre côté, on se retrouve avec p est égale à q racine de 2, en passant au carré, pour se débarrasser des racines carrées, on va voir que p carré est égal à 2q. Bon, p carré est égal à 2 fois quelque chose, donc p carré est pair, mais si p carré est pair, nécessairement p est pair. Bon, ça, si vous n'en êtes pas convaincu, vous pouvez l'écrire au brouillon rapidement, ça se montre très rapidement, on l'a déjà montré dans quelques exercices, là, ce n'est pas le but. Donc si p carré est pair, p est pair. D'accord? Mais si p est pair, ça veut dire qu'il existe k dans Z étoile, tel que p est égal à 2k. Eh bien, on remplace p carré par 2k au carré, ce qui nous fait 4k au carré, et donc on a que 4k au carré est égal à 2q carré. On simplifie par 2, et donc ça nous fait que q carré est égal à 2k au carré. Du coup, ça nous dit que q carré est pair, parce qu'on a q carré est égal à 2 fois un nombre entier, donc q carré est pair. Mais du coup, pareil, même raisonnement, ça nous dit que q est pair aussi. Mais là, on a que p et q sont pairs, tous les deux. Mais ça, ça contredit le fait qu'ils sont premiers entre eux, parce que s'ils sont pairs, ils sont tous les deux divisibles par 2. Donc ça contredit le fait que leur PGCD vaut 1, donc c'est vrai qu'ils sont premiers entre eux. Et elle est là, la contradiction. Donc, racine de 2 ne peut pas s'écrire comme p sur q, avec p et q dans Z premiers entre eux, et donc, nécessairement, racine de 2 est irrationnelle. Et donc, voilà pour cette démonstration.

√2 est irrationnel : démo

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