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Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice mathématique, nous devons trouver des solutions à une équation diophantienne restreinte aux valeurs positives. Nous devons montrer que si S est supérieur à 4, il y a au moins une solution. Si S est entre 0 et 4, nous devons déterminer les valeurs pour lesquelles il y a au moins une solution. Si Y est non nul, on est plus grand que S. Donc Y doit être égal à 0 et X doit être entre 0 et 2. Les valeurs possibles pour S pour avoir des solutions sont 0, 2 et 4. Pour montrer que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation admet au moins une solution dans N², nous utilisons la récurrence. Nous montrons que P de 4 est vrai et que P de S plus 1 est vrai si P de S est vrai. Nous distinguons le cas où Y est égal à 0 et où Y est supérieur ou égal à 1. Nous montrons que l'équation admet au moins une solution dans N² si S est supérieur ou égal à 4.

Salut! Dans cet exercice, on va résoudre cette équation diophantienne, mais on se restreint aux solutions positives. C'est-à-dire que les solutions négatives ne nous intéressent pas. Donc ce n'est pas une équation diophantienne classique, et on va voir que ce n'est pas forcément facile de savoir s'il y a des solutions ou pas. Donc on nous dit, voilà, le but c'est de montrer que si S est plus grand que 4, il y a au moins une solution. Ce qui a priori n'est pas forcément évident. Donc première question, on nous dit que si S est entre 0 et 4, il faut déterminer les valeurs pour lesquelles il y a au moins une solution. Du coup, bon, si S est entre 0 et 4, étant donné que X et Y doivent être dans N tous les deux, nécessairement Y égale 0, parce que si Y est au moins 1, on ne va pas faire réduire avec 2X parce qu'on sera du positif, donc même si celui-ci vaut 0, si Y vaut au moins 1, on est à 5 déjà. Donc étant donné que S est entre 0 et 4, si Y est non nul, on est plus grand que S. Et on ne pourra pas, comme je dis, compenser par du X négatif pour revenir, parce que X est positif aussi. Donc nécessairement Y égale 0. Donc si Y égale 0, la condition sur X, du coup, c'est qu'il soit entre 0 et 2. Parce que si X est plus grand que 2, donc ça veut dire si X est au moins 1 égale à 3, ici on vaut 6, pareil, on dépasse. Donc nécessairement si Y vaut 0, on a S est égal à 2X. Et comme je disais, la condition sur X entre 0 et 2, du coup c'est 0, 1 et 2 les solutions possibles. Donc pour S, si on fait le calcul avec ça, les valeurs possibles pour S pour avoir des solutions c'est 0, 2 et 4. Ensuite dans la deuxième question, on nous dit montrer par récurrence que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation E admet au moins une solution dans N². Donc là, on va le faire par récurrence comme on nous le demande. Donc S est plus grand que 4, ce qu'on va montrer par récurrence, c'est la proposition qui dépend de S suivante, c'est que 2X plus 5Y égale S admet au moins une solution dans N². L'initialisation, on va montrer que la plus petite valeur de S, donc ça veut dire 4, donc P de 4 est vrai. Ça on l'a déjà montré dans la première question, si S est égal à 4, on a déjà montré qu'il y avait des solutions ici en prenant tout simplement le X égale 2, Y égale 0. Donc maintenant l'hérédité, on suppose qu'il existe un S tel que P de S soit vrai, on va montrer aussi que P de S plus 1 du coup est vrai à son tour. Donc c'est parti, d'après l'hypothèse de récurrence, on a dit il existe un couple XY tel que 2X plus 5Y est égal à S. Là, on a dit on va avoir une condition sur Y. Si Y vaut 0, alors 2X est égal à S, avec X qui est supérieur ou égal à 2 parce que S est supérieur ou égal à 4, donc X est supérieur ou égal à 2. Donc ce qu'on veut nous, c'est voir S plus 1, comment on pourrait l'écrire comme 2 fois un nombre positif plus 5 fois un nombre positif. 2X plus 5Y, on sait que c'est égal à S, et du coup on fait une équation de Bézout pour avoir 2 et 5 qui ont des coefficients pour faire 1, pour faire S plus 1. Et ensuite, on additionne, donc là j'ai fait tout en même temps, donc 2 on fait fois moins 2 et 5 on fait plus 1, on se retrouve avec moins 4 plus 5 ça fait 1. Et comme je disais, on additionne tout, donc la première équation et la deuxième équation, on additionne tout et ensuite on va factoriser par 2 et ensuite par 5, ici, pour avoir 2 fois X moins 2 plus 5 fois Y plus 1. Et donc ça, ça nous fait S plus 1, et donc P de S plus 1 est vrai. Alors ça, c'est pour ça que j'ai distingué le cas Y égale 0, et on va voir après, distinguer le cas si Y est supérieur ou égal à 1, parce que là, cette condition aussi était nécessaire, parce que là on se retrouve avec du X moins 2. Mais si X est par exemple égal à 1, là on se retrouve avec un coefficient négatif. Et ça, ça pose problème, parce que nous on veut que nos solutions soient dans N carré. Donc on veut que ici, X moins 2 et Y plus 1 soient tous les deux positifs. Bon, ça c'est vrai, parce qu'on a dit X est supérieur ou égal à 2, et Y, bon là en plus c'est le cas Y égale 0, mais voilà, on met Y plus 1. Donc voilà, pour nos solutions, elles sont bien dans N. Maintenant, on va voir si Y supérieur ou égal à 1, on fait exactement le même raisonnement, mais cette fois-ci avec du Y. Donc là, on a notre égalité d'hypothèse de récurrence, et on fait d'autres coefficients de Bézout. Donc cette fois-ci, on fait 2 fois 3 plus 5 fois moins 1 est égal à 1. On additionne de chaque côté, et voilà pourquoi tout à l'heure, il fallait exclure le cas Y égale 0, parce que en faisant cette, comment dire, cette combinaison avec l'équation de Bézout, on se retrouve donc X plus 3, cette fois-ci, va plus poser de problème du tout, mais on se retrouve avec Y moins 1. Et bien Y moins 1 ici, si Y vaut 0, Y moins 1 pose problème, parce que ce serait négatif. Donc on avait bien besoin de voir quand est-ce que Y... enfin quand Y vaut 0, qu'est-ce qui se passe, et quand Y est supérieur ou égal à 1, qu'est-ce qui se passe, et donc là, ça pose plus de problème si Y est supérieur ou égal à 1, parce que Y moins 1 est supérieur ou égal à 0 comme prévu. Et donc du coup, P de S plus 1 est vrai. Donc finalement, P de S plus 1 est toujours vrai, donc la proposition est héréditaire, donc P de S est vrai pour tout S supérieur ou égal à 4, donc ça veut dire que l'équation admet au moins une solution dans N² si S supérieur ou égal à 4. Et donc voilà pour cet exercice.

Solutions entières et récurrence

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