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Physique-Chimie

Physique

Cinématique du point

Dans ce cours, Leïla explique comment exprimer la vitesse et l'accélération d'un point en coordonnées cylindriques. Elle utilise la formule OM = RER + ZEZ pour déterminer le vecteur déplacement. Elle note que ER change en fonction de la base, mais EZ est fixe. Elle mentionne également la formule DER/Dt = θ.eθ et DET/Dt = -θ.er pour dériver les vecteurs mobiles par rapport au temps. Pour la vitesse, elle dérive le vecteur position par rapport au temps et applique la formule DER/Dt = θ.eθ pour obtenir l'expression de la vitesse en coordonnées cylindriques R.ERθ.ez. Pour l'accélération, elle dérive la vitesse et applique la formule des produits de trois termes pour obtenir l'expression de l'accélération en coordonnées cylindriques. Elle insiste sur l'importance de connaître cette formule pour résoudre les problèmes de mécanique en base cylindrique.

Salut, c'est Leïla pour Studio. Aujourd'hui on va faire un exercice sur la vitesse et l'accélération en coordonnées cylindriques. C'est une question toute simple, c'est d'exprimer la vitesse et l'accélération d'un point M en coordonnées cylindriques. C'est quelque chose qu'il faut savoir faire super vite, parce que vraiment à chaque fois que vous allez avoir des problèmes de mécanique avec ce type de base, vous devrez connaître forcément la vitesse et l'accélération. Alors allons-y. Déjà la première chose c'est d'exprimer le vecteur déplacement. Vous vous souvenez que OM c'est RER plus ZEZ. Ici, ce qui est important c'est de remarquer que ER c'est un vecteur qui change en fonction de la base. Vous savez, on change en fonction de l'angle θ, donc la direction des vecteurs ER et θ change. EZ par contre, lui c'est un vecteur fixe, il va toujours vers le haut, donc il va être facile à dériver. L'autre formule super importante à connaître pour moi, c'est vraiment le plus important de toutes les questions sur la base cylindrique, c'est la dérivée des vecteurs qui sont mobiles par rapport au temps. Donc on a DER sur DT c'est θ.eθ et DET sur DT c'est –θ.er. Si vous connaissez ça, vous savez dériver vos vitesses, vos accélérations, etc. super facilement. Comment on retrouve cette formule? Avec l'exercice qu'on a fait la dernière fois d'exprimer ER en fonction de EX, Y, on est obligé de passer par une base fixe pour pouvoir dériver ces vecteurs et ça nous donne ça. Allons-y pour la vitesse. La vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. Qu'est-ce que ça va être? Là, je vais dériver, ça va être R.ER, mais ER change aussi en fonction du temps. Je vais devoir faire apparaître ici la dérivée, je vais dériver R.ER comme un produit. Et ensuite, je vais avoir Z.EZ. La dérivée de EZ est nulle par rapport au temps, donc je n'ai pas d'autre terme qui apparaît. Et maintenant, si j'utilise le petit encadré ici, je vais dire que DER sur DT c'est θ.eθ et ça me donne l'expression de la vitesse en coordonnées cylindriques R.ERθ.ez. Ce que je peux faire pour l'homogénéité, vous savez l'homogénéité par rapport aux dimensions, c'est de regarder le nombre de points qui apparaissent. Pourquoi? Parce qu'un point, ça veut dire une dérivée par rapport au temps. Là, j'ai une vitesse, vous voyez, j'ai un point, un point, un point, donc j'ai bien des secondes moins un à chaque étape. Et ensuite, je regarde pour les longueurs, j'ai une longueur ici, une longueur ici, une longueur ici. θ n'a pas de dimension, donc là, je suis bien homogène à une vitesse. Alors allons-y maintenant pour l'accélération sur le même principe. L'accélération, c'est la dérivée seconde de la position ou la dérivée première de la vitesse. Donc je vais dériver ça. Donc ça, je vais le dériver comme un produit et ça, je vais le dériver aussi comme un produit de trois termes. Alors pour mémoire, les produits de trois termes, comment ça marche? Vous avez fgh''. En fait, ça marche exactement de la même manière que pour un produit de deux termes. On pourrait très bien faire la démonstration en faisant deux fois des produits de deux termes. Et à chaque fois, vous ne dérivez qu'une seule des fonctions et vous laissez les autres constants. Donc là, je vais avoir trois termes qui vont apparaître. Donc pour le terme en vert ici, je dérive un produit de deux termes, donc je vais avoir rs'r et ensuite r'd'r sur dt, ce qui me donne θ'eθ. Pour le produit de trois termes ici, je vais avoir quoi? D'abord, je dérive le r, donc r'θ'eθ. Ensuite, je dérive le θ', et je laisse le reste constant, donc rθ'eθ. Et ensuite, je vais laisser rθ' et je vais dériver ce eθ, ce qui va me donner –θ'er, d'après le petit encadré. Et donc ça, finalement, ça nous donne l'expression pour l'accélération. L'accélération, c'est rs'rθ'² selon er de r'θ'' plus rθ'' selon eθ et z' selon ez. Alors pour cette formule, deux choses. Soit vous savez la démontrer ultra ultra rapidement, auquel cas vous n'êtes pas obligés de la prendre par cœur. Personnellement, je ne l'ai jamais apprise par cœur. Par cœur, je l'ai toujours redémontré très facilement. Soit sinon, vous la prenez par cœur, parce que de toute façon, elle va beaucoup revenir en fait dans vos exercices. Donc dans tous les cas, c'est une formule vraiment qu'il faut retrouver ultra ultra vite pour pouvoir l'utiliser. J'espère que cet exercice vous aura été utile. N'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

Vitesse et accélération

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