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Divisibilité et Congruences

Dans ce cours, on nous demande de démontrer que pour tout n, la quantité 3n4 plus 5n1 est impaire. On appelle cette quantité "an" pour la suite de la question. Ensuite, on doit en déduire que ce nombre n'est jamais divisible par nn1. Pour cela, on utilise le fait que nn1 est un produit de deux nombres consécutifs et qu'au moins l'un d'eux est pair. On remarque également que nn1 est la somme des entiers jusqu'à n. On utilise ces propriétés pour démontrer que nn1 ne divise pas an. On conclut en montrant que an est paire et an plus 1 est impaire, et que an plus 1 est toujours divisible par 6, tandis que nn1 est divisible par 2. On utilise des décompositions en facteurs premiers pour arriver à ces conclusions.

un exercice intéressant, parce qu'il a l'air plus difficile que ce qu'il est. Donc soit n à l'antinaturel, j'ai un annoncé un peu trop long, démontrer que pour toute n, la quantité 3n4 plus 5n1 est impaire. Moi j'appelle a n cette quantité là, pour la suite de la question, et en déduire que ce nombre n'est jamais divisible par nn1. Que ce truc là, ce nombre n'est jamais divisible par nn1. Là on se dit, divisible par nn1, c'est compliqué, etc. Utilisons le mode réflexe, en tout cas ce petit mode réflexe que j'espère vous aider à développer avec Studio. nn1, qu'est-ce que ça appelle dans ma tête tout de suite ? Il y a une zone de ma tête, pouf, nn1, ça me rappelle le cours sur les suites, et en fait la somme des entiers jusqu'à n, je sais que c'est nn1 sur 2. Il est là. C'est pas très utile parce que j'ai pas de somme d'entiers ici, mais bon, c'est un des trucs qu'il y a dans ma tête. Autre chose, nn1, ça me rappelle le fait que c'est un produit de deux nombres consécutifs, et ça on l'a déjà vu dans une petite vidéo, petite méthode. Deux nombres consécutifs, il y a toujours un des deux qui est paire. Pour des nombres 2, 7 et 8, 9 et 10, c'est parce qu'en fait un nombre paire par définition, il est divisible par 2, donc quand vous ajoutez des paquets de 2, vous allez toujours tomber, si votre nombre est impair, plus 2 vous avez un impair, mais si votre nombre est paire, vous partez de 2, plus 2 vous avez un impair, 4, bon voilà. Et donc ça c'est cool, parce qu'en fait nn1, comment on va faire démontrer que ce truc de degré 2 ne divise pas ce truc de degré 4, c'est horrible. En fait non, avec le bon réflexe on se dit, attends, on sait que ça c'est divisé par 2, donc ça c'est un nombre paire, donc en gros il y a 2 dans la décomposition en facteur premier de ce truc-là. Donc si ça, ça divise à n, ça veut dire que 2 divise à n. Ah mais non, à n est impair, donc c'est mort. Ok, grâce à mes petits réflexes, je vois tout de suite que la fin de la question était piégeuse, voilà un peu pour me faire peur, et qu'en fait elle est super simple, c'est juste savoir que ce truc-là est paire. Concentrons-nous donc sur le fait que ce truc-là est impair. Bon, moi ça me saoule le plus 1 à la fin, vu que c'est un plus 1, clairement si ça c'est impair, si j'enlève 1, ça c'est paire. Donc montrons plutôt que cette quantité-là que j'appelle a n est paire. Comme ça en plus je peux la facteuriser, ça m'arrange bien, donc j'écris tout de suite n avec le temps de 3n3 plus 5, et je me dis, bon attends, avant de faire une table de congruence ou un truc compliqué, est-ce que c'est possible de se dire, mais attends, si n, peut-être que je peux faire une décomposition de 2k. Toujours penser à la première décomposition des k possibles pour un entier. On pourrait dire un entier il se décompose en 3k, ou il est 3k plus 1, ou il est 3k plus 2. Oui, mais le premier truc auquel il faut penser dans ce genre d'exercice d'arithmétique, c'est la division paire-impair. Prenons le cas paire. Le cas paire est tellement simple que j'ai envie d'essayer. Vu que je peux factoriser par n, si n est paire, c'est fini. A n est paire. Hop, moitié de la démonstration. Maintenant, si n est impaire, que je peux aussi écrire n congrue à 1 modulo 2. Il y a un reste 1 dans la division paire 2. Dans ce cas, qu'est-ce qu'il se passe pour n³ ? n³ est aussi congrue à 1, donc 3n³ est congrue à 3. 3 modulo 2, j'enlève 2, ça fait 1, plus 5, ça fait 0. Donc si n est impaire, 3n³ plus 5 est paire. Donc A n paire. Voilà, c'est fini. Donc A n est paire, donc A n plus 1 est impaire, et on sait qu'il n'est pas divisible par A n plus 1, parce que lui, il est divisible par 2. C'est un nombre paire. Voilà. Je vous ai rappelé aussi que A n plus 1, c'est toujours paire, mais le produit de 3 nombres consécutifs est toujours divisible par 6. Divisible par 3, parce qu'il y a toujours un nombre divisible par 3 quand il y a 3 nombres consécutifs. Vu qu'il y en a aussi 2 consécutifs, on sait qu'il y a 2 qui se cachent là-dedans, donc on sait que ça, 3 nombres consécutifs, c'est toujours divisible par 6. Petite remarque en plus. Voilà, en gros c'est cet exercice, j'espère que ça vous a aidé. Posez-moi des questions s'il y a besoin dans les commentaires, et je vous dis à la prochaine pour une autre vidéo. Bye bye !

Un entier toujours impair ?

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