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Divisibilité et Congruences

Dans cette vidéo, nous abordons un exercice mathématique qui peut sembler difficile et effrayant. Il s'agit de déterminer les solutions d'une équation polynomiale avec des congruences. Tout d'abord, il est conseillé de réécrire l'équation en utilisant des lettres plus conventionnelles pour faciliter la compréhension.

Ensuite, nous devons appliquer les méthodes classiques pour résoudre le problème en utilisant une table des congruences. Nous pouvons également essayer de factoriser l'équation pour trouver une solution évidente. Si cela ne fonctionne pas, nous continuons avec la table des congruences en testant différentes valeurs pour x.

Après avoir rempli la table, nous constatons que les valeurs de x² plus x ne sont jamais congruentes à 3 modulo 5. Par conséquent, l'ensemble des solutions est vide.

Il est important de comprendre la démarche de résolution plutôt que de se concentrer sur les concepts mathématiques complexes. En utilisant une approche méthodique et réfléchie, nous pouvons surmonter les difficultés et résoudre ce type de problème.

En conclusion, bien que cet exercice puisse sembler intimidant, il est essentiel d'avoir confiance en sa capacité de réflexion et de prendre le temps d'analyser les différentes possibilités. J'espère que ce résumé vous a été utile et je vous invite à me rejoindre dans ma prochaine vidéo.

Un exercice que je juge un peu difficile uniquement parce que j'ai trouvé qu'il pouvait faire peur et il y a un effet très fort dans les exercices de maths, surtout pour ceux qui sont faits pour piéger au contrôle, il y a souvent un effet faire peur aux élèves pour rien. C'est-à-dire voir s'ils paniquent quand j'en mets des petits trucs bizarres, voir s'ils paniquent alors qu'en fait derrière, il n'y a rien d'inquiétant, il faut juste se poser et réfléchir. Déterminer les solutions de x² plus x congruent à 3 modulo 5 quand x est un entier. Donc des solutions d'un polynôme du degré 2 avec en plus des congruences, si on met les mots comme ça c'est horrible, tout de suite moi je vais me coucher et j'arrête. Donc, premier truc qu'on pourrait faire que je n'ai pas fait là, c'est en fait réécrire ça déjà, n² plus n, arrêtez de mettre un x qui est entier, c'est trop bizarre, mais c'est vrai que ça marche pour rendre confus les élèves. Et on se dit bon ben, comment on fait ? On résout, est-ce qu'on passe le plus n moins 3, est-ce qu'on le passe de l'autre côté, on factorise, on fait un delta, on ne sait pas. Non, en fait c'est comme d'hab, c'est ce qu'on a vu dans les méthodes classiques, il faut tester tous les différents cas avec une table des congruences. Et là ça va marcher. Mais quand même, vu que j'ai évoqué le x² plus x moins 3 congruent à 0, on ne sait jamais, peut-être avoir en tête une petite alarme qui dit, repérons s'il n'y a pas une factorisation évidente. Si on avait, je ne sais pas, x² plus x, alors c'est quoi par exemple ? Moins 2 par exemple, ça, ça se factorise vite, par cœur, c'est x moins 1, x plus 2. Bon, peut-être qu'on pourrait réfléchir à factoriser, parce qu'on aime bien factoriser dès qu'il y a des entiers. Donc on teste vite fait, il y a une zone de notre cerveau qui regarde vite fait, x² plus x moins 3, ouais, le delta, je ne sais pas combien ça fait, ça n'a pas l'air, ouf, ok, on oublie. On a ça quand même, une demi-seconde, il ne faut pas se l'interdire. Voilà, c'est là-dessus que je veux insister, c'est plus sur la démarche et la méthode, la manière de réfléchir. Ensuite par contre, bon ben, on se lance, on fait une table de congruence. Quand x est congruent à quoi ? 0, 1, 2, 3, 4, je remplis ensuite ce qu'il se passe pour x², puis je vois la somme de 2. Bon ben, x² est congruent à 0, 1, 2² c'est 4, 3² c'est 9, moins 5 ça fait 4, 4² c'est 16, moins 15 ça fait 1, voilà. On le remplit ça en 2 minutes. La somme de 2 ça fait quoi ? Ben là ça fait 0, là ça fait 2, là ça fait, ben celui-là ça fait 2 donc ça fait 0, là ça fait 6, j'enlève un paquet de 5, ça fait 1, là ça fait 7, j'enlève un paquet de 5, ça fait 2, là ça fait 5, ça fait 0. Donc, est-ce que x² plus x, vu que là j'ai couvert l'ensemble des cas possibles, j'ai écrit les x en gros, soit 5k, soit 5k plus 1, ça correspond à cette colonne et à celle-ci, soit 5k plus 2, 5k plus 3, 5k plus 4, est-ce que, j'ai couvert tous les cas possibles au monde, est-ce qu'il y a un moment où il est, cette quantité est congrue à 3 ? Jamais, non, c'est toujours 0, 1 ou 2, donc c'est mort, ensemble vide, voilà. Pas si compliqué mais vu qu'il faisait, il peut faire un peu peur au début, et je voulais insister un peu sur les petits réflexes, je trouvais qu'ils pouvaient être considérés comme pas simples et je voulais en parler. Voilà, j'espère que ça vous aide et je vous dis à la prochaine pour une autre vidéo.

Piège à éviter : degré 2 !

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