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Divisibilité et Congruences

Dans cet exercice de congruence, on nous demande de déterminer quand l'expression 2 puissance 2n + 2 puissance n + 1 est divisible par 7. Pour simplifier, nous remplaçons 2 puissance 2n par 4 puissance n et nous cherchons à comprendre le comportement de 4 puissance n et de 2 puissance n.

Nous constatons que 4 puissance n suit un cycle : 4 puissance 1 est congruent à 4, 4 puissance 2 est congruent à 2, et 4 puissance 3 est congruent à 1. Donc, nous avons 4 puissance 3k qui est congruent à 1, 4 puissance 3k + 1 qui est congruent à 4, et 4 puissance 3k + 2 qui est congruent à 2.

Quant à 2 puissance n, nous remarquons qu'elle suit également un cycle de taille 3 : 2 puissance 3 est congruent à 1, 2 puissance 3k + 1 est congruent à 2, et 2 puissance 3k + 2 est congruent à 4.

En combinant ces résultats, nous concluons que pour tout entier n qui est égal à 3k, 3k + 1 ou 3k + 2, l'expression 2 puissance 2n + 2 puissance n + 1 est congruente à 3 modulo 7.

En résumé, l'expression est divisible par 7 pour tous les entiers n qui ne sont pas multiples de 3 (c'est-à-dire les pairs et les entiers qui laissent un reste de 1 ou 2 lorsqu'ils sont divisés par 3).

dans cet exercice un exo de congruence où on a quelque chose un peu du même type que si je vous demande à quoi est congruent 145 puissance 2022 modulo 17, une vidéo qu'on a déjà faite, mais un peu plus élaborée c'est à dire qu'il y a des puissances n, il y a une somme de différents termes et on vous dit voilà débrouillez-vous avec ça, quand est-ce que c'est divisible par 3 ? Le premier truc que j'ai envie de faire c'est de comprendre ce qui se passe pour les deux, pour les deux 5 puissance 2n 5 est congruent à 2 donc 5 puissance n déjà première chose que j'ai appris dans la méthode de comment gérer des cycles etc je simplifie un peu modulo 3, 2 c'est plus simple que 5 donc 5 puissance n je vais pouvoir étudier plutôt 2 puissance n. Pour 5 puissance 2n est-ce que je peux faire la même chose ? 5 au carré bon c'est congruent à 2 au carré donc ça fait 4, j'enlève un paquet de 3 il reste 1, j'ai de la chance 5 puissance 2n, je mets ça ensuite, je mets cette ligne là aux puissance n c'est toujours congruent à 1 donc en fait ce nombre là pour pas trop la tête 5 puissance 2n toujours congruent à 1, 1 puissance n si vous voulez donc c'est facile. Ensuite il faut que j'étudie plutôt je peux faire la somme 5 puissance 2n, 5 puissance n plus 1 c'est congruent à celui là c'est 1 plus 1 ça fait 2 et 5 puissance n c'est 2 puissance n donc je trouve 2 puissance n plus 2. Bon bah en fait je comprends maintenant pour résoudre ça tout ce que j'ai à faire c'est comprendre qu'est ce qui arrive à 2 puissance n. Tableau de congruence 2 puissance 1 c'est congruent à 2, 2 puissance 2 c'est congruent à 1 ok pour 2 puissance n c'est simple si n est pair 2 puissance n c'est congruent à 1 là on le voit ici quand j'ai 2 puissance 2 c'est congruent à 1 tout de suite je passe à la puissance k, 2 puissance 2k est congruent à 1 et 2 puissance 2k plus 1 je fais fois 2 est congruent à 2 donc simplement peut-être que j'ai été vite mais alors dans ce cas référez-vous à la vidéo plus basique sur comment faire ces tables bon bah c'est simple 2 puissance n si n est pair c'est congruent à 1, 2 ici donc 2 puissance n plus 2 je fais la somme 1 plus 2 ça fait 3 donc congruent à 0 et là j'ai 2 plus 2 ça fait 4 donc congruent à 1 ok moi je voulais savoir quand est ce que ça a été divisé par 3 donc quand est ce que ça est divisé par 3 c'est simple pour n pair voilà 3 divise 5 puissance 2 n plus 5 n plus 1 en fait au début encore une fois je vais insister là dessus je l'ai simplifié cette expression ça revient à comprendre quand est ce que ce truc est divisible par 3 si et seulement si n est pair c'était la méthode basique de comment gérer un cycle je l'ai fait ici dans un petit contexte un peu différent on vous rajoute un terme qui sert à rien en fait parce que celui là il est très simple il est toujours congruent à 1 et il faut bien gérer ensuite son 2 puissance n et pas être perturbé donc quand je vous disais que c'était un truc très très fondamental aller voir cette vidéo 145 puissance 2022 des premières vidéos de méthode basique c'est parce que voilà des fois cette petite technique va apparaître dans des exos un peu plus complexe c'est assez courant deuxième exo c'est un peu pareil regardez on vous dit quand est ce que 2 puissance 2 n plus 2 puissance n plus 1 est divisible par 7 premier réflexe 2 puissance 2 n je remplace par 4 puissance n je veux pas des puissances bizarres 2 n machin je veux que des nombres en puissance n donc 4 puissance n plus 2 puissance n plus 1 facile je vais faire un petit cycle d'abord pour 4 je comprends que 4 puissance 1 c'est congruent à 4, 4 puissance 2 c'est 16 c'est congruent à j'enlève 14 à 2, 4 puissance 3 à c'est donc 4 fois 2 6 incroyable ça on peut le mettre partout sur internet 4 fois 2 8 congruent à 1 je sais pas ce que je dis que 4 puissance 3 c'est 5 fois ça donc je peux dire que c'est congruent à 5 fois ça et donc j'enlève 7 il reste 1 c'est bon j'ai mon cycle 4 puissance 3k congruent à 1 les 4 puissance 3k plus 1 c'est congruent à 4 les 4 puissance 3k plus 2 est congruent à 2 donc j'ai la réponse pour 4 puissance n modulo 7 je fais la même chose ensuite pour 2 puissance n 2 puissance n j'ai de la chance ça marche bien ici ça se goupille bien pareil j'ai un cycle de taille 3 j'ai 2 puissance 3 congruent à 1 et donc je trouve 2 puissance 3k congruent à 1, 2 puissance 3k plus 1 congruent à 2, 2 puissance 3k plus 2 congruent à 4 l'exercice est bien fait disons que il est bien ficelé parce que j'aurais eu un cycle de 5 ici ma vie aurait été plus compliquée ça aurait fait des exos un peu plus compliqué à résoudre, normalement ils sont bien ficelés pour que ça puisse marcher comme ça et donc on vous dit ben ok n c'est soit égal à 3k, 3k plus 1, 3k plus 2 dans ce cas 4 puissance n est congruent à quoi ? 1, 4, 2 on vient de le faire et je remets juste dans la table pour faire un tableau précis ce que j'ai trouvé ici aussi 1, 2, 4 donc la somme des deux est congrue à, on rajoute 1 en plus donc 1 plus 1 plus 1 ça fait 3 modulo 7 ensuite 4 plus 2 plus 1 ça fait 7, 2 plus 4 plus 1 ça fait 7 ok super ce truc est divisé par 7 pour tous les entiers n qui s'écrivent comme ça donc en gros tous les entiers qui sont pas divisés par 3 tous les nombres multiples de 3 je sais plus comment j'ai rédigé ça, oui on a compris qu'on avait n c'est ça c'est l'ensemble de tous ces nombres là je peux les décomposer comme ça les paires les impaires les multiples de 3 ceux qui en restent 1 en restent 2 par 3 et je me rends compte que tout cela c'est bon ça marche 7 va diviser la quantité cela non voilà c'est la réponse je vous dis à la prochaine posez des questions si besoin et je vous retrouve dans une prochaine vidéo

5²ⁿ, 2²ⁿ ... et des congruences !

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