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Suites : applications avancées

Lors de ce cours, nous nous intéressons aux suites définies par récurrence. La méthode classique pour les étudier consiste à encadrer la suite, montrer sa monotonie, prouver qu'elle est convergente et trouver sa limite. Nous commençons par encadrer la suite en utilisant une récurrence immédiate. Ensuite, nous montrons que la suite est décroissante en utilisant des encadrements. Enfin, nous prouvons la convergence de la suite en montrant qu'elle est minorée par 0. Nous trouvons ensuite les solutions de l'équation du point fixe de la fonction afin de déterminer la limite de la suite. Dans cet exemple, nous trouvons deux solutions mais excluons l'une d'entre elles en raison des contraintes initiales de la suite. Cette méthode peut être appliquée à tous les exercices sur les suites définies par récurrence.

Bonsoir à tous, on va s'intéresser maintenant aux suites définies par récurrence. Donc, cette suite-là, c'est très classique la méthode, c'est on a une suite du type un plus un égale f de un, et donc on va toujours faire dans l'ordre les mêmes choses, c'est-à-dire essayer d'encadrer cette suite, voir qu'elle est une sorte de variation, ensuite trouver qu'elle a une limite, et trouver cette limite, ça va être toujours dans cet ordre-là. Donc là, on va voir une méthode basique pour voir comment on fait pour trouver ça, et vous maîtriserez ensuite le sujet sur le bout des doigts, donc c'est toujours dans le même ordre. Vous allez voir, c'est parti ! Alors, on a une suite U définie par une relation, donc on a toujours un premier terme, qui U0 qu'on ne connaît pas, et on sait juste qu'il appartient à 0,1, et une relation de récurrence un plus un égale un plus un carré sur 4. Donc voilà, on a bien une suite du type 1 plus 1 égale f de Un, avec une fonction ici qui vaut x sur 2 plus x carré sur 4. Et donc, première étape, on nous demande de l'encadrer cette suite. C'est parti ! Donc là, on va montrer par récurrence, en fait c'est une récurrence immédiate, donc l'inutilisation comme U0 appartient à 0,1, évidemment, la suite est vraie, et ensuite on suppose qu'elle ait un certain rang, on va montrer quel est le vrai rang d'après. Donc là, c'est une propriété par récurrence très simple, moi je vous invite, quoi qu'il arrive, dans tous les cas, de toujours montrer ce qu'on suppose, et ce qu'on veut montrer, noir contre blanc. Comme ça, même pour vous, quand vous cherchez la question, c'est plus simple. Donc voilà, Un plus 1, ça vaut Un sur 2 plus Un carré sur 4, et je vais simplement utiliser l'encadrement de Un, qui va me permettre d'encadrer Un plus 1. Donc j'ai Un qui est compris entre 0 et 1, je divise le tout par 2, j'encadre aussi Un carré, et donc j'arrive à encadrer Un carré sur 4, je fais la somme des deux, et ça marche. Donc j'ai bien Un plus 1 qui est plus petit que 3 quarts, qui est lui-même plus petit qu'un. Donc c'est bon, concluons, d'après la principe de récurrence, j'ai bien un relaissement qui est toujours vrai. Ensuite, on nous demande de montrer que la suite est monotone. Montrons que la suite est monotone. Donc évidemment, je fais la différence entre Un plus 1 et Un, donc je fais la différence, je vois que je peux factoriser, donc là ça dépend vraiment des suites, il n'y a pas de méthode toute faite, mais là je vois que je peux factoriser par Un, ça tombe bien, je viens de vous montrer à l'écrition précédente que c'est inférieur à 0, et donc Un sur 4 moins 1 sur 2, c'est pareil en fait, je sais que d'après encadrement qu'Un est compris entre 0 et 1, je vais pouvoir dire qu'Un sur 4 moins un demi est compris entre moins un demi et moins un quart, donc c'est inférieur à 0. J'ai un produit de deux termes, un positif et un négatif, donc la suite est strictement décroissée. Ensuite, on veut montrer qu'elle est convergente et trouver sa limite. Donc Un, elle est décroissante et minorée par 0, donc là, c'est un truc qui doit faire titre, titre, titre partout, une fois que j'ai le sens de ma liste, donc j'ai montré qu'elle est majorée ou minorée, si c'est dans le bon sens, on peut tout de suite conclure qu'elle est convergente. Et en fait, on va essayer de trouver des infos sur sa limite, donc on sait qu'il y a une limite L, même si je ne sais pas ce qu'elle veut. Et en fait, je repars, ça c'est toujours le cas pour les suites définies par différence, je remplace, je passe vers la limite, donc en fait, comme Un plus 1 tend aussi vers L, et Un tend vers L, finalement, L est la solution d'une équation qui est x égale x sur 2 plus x carré divisé par 4, c'est ce qu'on appelle un point fixe de la fonction. Si cette fonction-là, je l'appelle f de x, en fait, on résout à chaque fois systématiquement f de x égale x. Et donc, je trouve deux solutions quand je résout, je trouve x égale 2 et x égale 0. Donc là, il faut exclure une des deux solutions, donc là aussi, ça dépend de l'exercice, mais ici, qu'est-ce que je vois ? Je sais que Un est compris entre 0 et 1 pour toute L, donc ça limite aussi par passage à la limite, donc forcément, L à partir de 0,1, inclue, donc forcément, ça ne peut être que vers L. Donc voilà, là, vous avez vu une méthode pour les suites définies par inférence, donc je répète toujours dans le même ordre, d'abord, on va s'intéresser à, on va encadrer la suite, ensuite, on va s'intéresser à la différence de variation, on va pouvoir conclure qu'il y a une convergence, et ensuite, on trouve la limite en résolvant l'équation du point fixe. Voilà, c'est toujours dans le même ordre. Et si vous savez faire ça, vous pourrez faire tous les exercices sur les suites définies par inférence. Voilà.

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