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Aujourd'hui, nous allons parler du principe de Fermat en optique géométrique. Ce principe nous indique que de nombreuses lois de la physique sont basées sur la minimisation d'une grandeur. Pour comprendre ce principe, prenons l'exemple d'un sauveteur en mer. Si le sauveteur doit à la fois courir sur la plage et nager pour aller secourir quelqu'un, il doit déterminer le point de transition optimal entre la course et la nage. Si le sauveteur court trop longtemps sur la plage, il sera ralenti dans l'eau. A l'inverse, s'il entre trop tôt dans l'eau, il devra nager sur une distance trop grande. Le but est donc de trouver le point de transition optimal.

Le principe de Fermat s'applique également à la lumière. La vitesse de la lumière varie selon les milieux traversés. Ainsi, pour que la lumière se propage de manière optimale, elle doit entrer dans un milieu exactement au même endroit que le sauveteur entre dans l'eau pour sauver quelqu'un.

Pour calculer ce point de transition optimal, nous devons exprimer les différentes distances parcourues. Par exemple, la distance de course dépend de y, x et v, où y correspond à la distance sur la plage, x correspond au point d'entrée dans l'eau et v est la vitesse du sauveteur sur le sable. La distance de nage, quant à elle, dépend également de xb-x et yb, avec la vitesse αv.

Ensuite, nous devons établir la relation entre les angles I1 et I2 pour minimiser la durée du trajet du sauveteur. Pour cela, nous utilisons des notions mathématiques telles que les dérivées et les extrémums de fonctions. Par exemple, la durée totale du trajet se calcule en fonction du temps de nage et du temps de course.

En résolvant les équations, nous obtenons que sin(I1) est égal à αsin(I2). Cette relation est similaire à la loi de Descartes en optique géométrique, qui relie les angles d'incidence et de réfraction ainsi que les indices de réfraction des milieux traversés par la lumière.

En conclusion, le principe de Fermat en optique géométrique explique comment la lumière se propage de manière optimale en minimisant la durée du trajet. Ce principe est similaire au cas d'un sauveteur en mer qui doit trouver le point de transition optimal entre la course et la nage. J'espère que cette explication vous a été utile et n'hésitez pas à poser vos questions.

Bonjour à tous, c'est Laila pour CEDEO. Aujourd'hui on va parler du principe de Fermat. On va voir ensemble ce que c'est que le principe de Fermat. C'est quelque chose que vous avez peut-être déjà vu en optique, si vous avez déjà vu l'optique. C'est un principe général qui sert en physique, qui nous dit qu'en fait, globalement, il y a beaucoup de lois qui se passent comme la minimisation d'une grandeur. C'est le cas notamment de l'optique géométrique. Si ça ne vous parle pas, ce n'est pas grave. En gros, comment on va voir ça ? On imagine que vous êtes un sauveteur en mer et qu'il y a quelqu'un qui est en train de se croiser, de se noyer. Vous allez devoir parcourir une certaine distance sur la plage, dans le sable, et une certaine distance dans l'eau. L'idée, c'est de déterminer à quel endroit est-ce que c'est optimal que je croise, que je passe du sable à l'eau, sachant qu'à priori, vous nagez moins vite que vous ne marchez ou que vous courez, vous allez être ralenti par l'eau. Vous ne pouvez pas, vous voyez, si vous faites toute la distance sur le sable comme ça, et qu'après il vous reste de l'eau, ce ne sera pas terrible. Si au contraire, vous arrivez très proche ici et que vous faites une grande distance dans l'eau, ce n'est pas incroyable non plus. Le but, c'est de trouver vraiment le point de croisement optimal, à quel endroit est-ce que je vais rentrer dans l'eau. Et donc voilà, là on vous dit ensuite que c'est un principe qui sert de fondement à l'optique géométrique, et donc pour la lumière, ça se passe un peu comme ça. La lumière est plus ou moins rapide selon les milieux dans lesquels elle est, et donc il faut qu'elle rentre dans un milieu exactement au même point que le sauveteur en mer doit rentrer dans l'eau pour sauver quelqu'un. C'est ça l'idée. La première chose qu'on va faire ici, c'est exprimer les différentes distances. Tout d'abord la distance sur la course en fonction de y, x et v. Y c'est ici, A est en y, x est le point d'entrée dans l'eau, v c'est la vitesse que j'ai sur le sable, sachant qu'ensuite dans l'eau ce sera αv. Pour ça, on refait le schéma ici. L'idée, c'est que mon temps de course, Δt course, c'est la longueur que je parcours sur la plage ici, divisé par la vitesse que j'ai lorsque je cours sur la plage, et donc le but c'est de déterminer quelle est cette longueur sur la plage. Vous voyez que c'est l'hypothénuse d'un triangle, donc ce triangle c'est yA plus x, il y a yA ici, et x ici, et donc elle plage chez racine de yA plus x², donc ça me donne Δt course. On fait exactement la même chose lorsqu'on passe dans la mer, sauf que cette fois-ci, dans mon triangle rectangle, je vais avoir une distance qui va être xb-x et une autre distance qui va être yb. Après je remplace exactement de la même manière, et cette fois-ci ma vitesse change aussi. Tout à l'heure j'allais à la vitesse v, là je vais un peu plus lentement, je vais à la vitesse αv. Donc ça me donne ça pour Δt nage. Ensuite la question qu'on nous pose c'est d'établir la relation entre les angles I1 et I2, donc c'est les angles ici, pour que la durée de trajet du sauveteur soit la plus petite possible. Donc on nous donne ici quelques rappels mathématiques, le fait qu'une fonction mathématique elle a un extrémum lorsque la dérivée s'annule, donc en physique on va pas trop s'occuper de est-ce que c'est un maximum, est-ce que c'est un minimum, tant que la dérivée s'annule on a ce qu'on veut, donc ça va marcher. Et ensuite on nous donne la dérivée de la fonction, bon ça normalement vous devez quand même la connaître par cœur mais ils sont sympas de vous la redonner. Alors qu'est-ce que ça va faire ici ? Le montant de trajet total c'est le temps durant lequel je nage plus le temps de la course. Donc là j'utilise juste les questions d'avant et ça me donne ça comme temps de trajet. Voilà c'est une formule un peu compliquée sachant que moi ce que je veux c'est de chercher x tel que la durée de trajet est minimale. Vous voyez qu'x il apparaît là, il apparaît là. Donc pour ça je vais regarder à quel moment la dérivée s'annule. Donc c'est ce que je fais ici. Montant de trajet c'est cette expression là un peu barbare avec du 2x sur des racines, des trucs au carré, bon voilà. Il faut que ce truc là il soit égal à 0 pour que ma durée de trajet soit minimale. Donc là vous voyez que je prends juste chacun de mes termes, je dis que ceux là sont égaux à 0 et donc ça me donne ça. Et nous on nous demande de faire le lien entre des sinus, des angles. Et donc c'est là où il faut être un peu malin, il faut reconnaître en fait les différents angles. Là je vois que j'ai x sur racine carré de y² plus x² et donc ça c'est exactement en fait le sinus de I1. L'angle I1 c'est l'angle avec lequel j'arrive dans l'eau ici. Et de l'autre côté, même chose, on a du xb-ix etc. Et ce truc là, on remarque que c'est exactement en fait sinus I2. Où I2 c'est l'angle avec lequel je rentre dans la mairie. Et donc là, la formule qu'on a, elle s'écrit relativement simplement. Elle s'écrit que sinus I1 c'est alpha sinus I2. Vous voyez que ça, on l'a trouvé grâce à juste une question de comment est-ce que je fais pour minimiser la durée. Et c'est exactement ça que nous dit la loi Descartes, puisqu'elle nous dit que n1sin1 est égal à n2sin2 dans le cours d'optique géométrique. C'est quelque chose de très similaire, où en fait n1 et n2 c'est le rapport entre la vitesse dans un milieu et la vitesse de la lumière dans le vide. Et donc c'est pour ça qu'ici on a mis un facteur alpha. Ça correspond grosso modo à la même chose. J'espère que cet exercice vous aura été utile et que vous y penserez pendant vos cours d'optique géométrique. N'hésitez pas à poser vos questions en commentaire.

Principe de Fermat

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