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Suites : applications avancées

Dans cette méthodologie, nous étudierons les suites récurrentes d'Ordre 2 et en particulier leurs solutions complexes. Cela peut être utile non seulement dans des exercices spécifiques, mais également dans d'autres types d'exercices. Tout d'abord, nous cherchons les solutions complexes d'une équation de suite spécifique, où nous voulons que notre suite satisfasse à une certaine condition. Nous résolvons d'abord l'équation sans tenir compte de cette condition. Ensuite, nous recherchons une solution particulière qui satisfera à la condition donnée. Si une solution particulière est trouvée, nous combinons cette solution avec la solution homogène pour obtenir l'ensemble complet des solutions. Cette méthode nécessite de résoudre des équations et de manipuler des polynômes. Si vous ne comprenez pas encore ce concept, ne vous inquiétez pas, vous le verrez bientôt dans le prochain chapitre.

Salut à tous, dans cette méthode on va aborder les suites récurrentes d'Ordre 2 et en particulier leurs solutions complexes. C'est une méthode qui est un peu calculatoire mais il faut savoir la maîtriser puisque ça peut servir aussi dans d'autres exercices qui ne sont pas centrés spécifiquement sur le sujet. C'est parti ! Alors du coup on va chercher les solutions complexes d'une certaine équation de suite où on veut que notre suite vérifie un plus deux égale moins une plus un plus six un plus p2n où p2n on a trois expressions différentes. Tout d'abord on va résoudre l'équation sans p2n, donc là on reconnaît ici une relation de récurrence linéaire homogène d'Ordre 2, donc qu'est ce qu'on fait dans ce cas là ? On regarde l'équation de caractéristique, je remplace un plus deux par r², un plus un par r et un par un, donc je résous ça, r² plus r moins 6 égale 0, je résous ça me fait r égale 2 ou r égale moins 3. Qu'est ce que me dit mon cours ? Mon cours me dit que les solutions de cette équation, donc un plus deux plus un plus un moins six un égale 0, sont de la forme, c'est un espace vectorel, vous allez voir ça si vous ne l'avez pas encore vu, deux dimensions deux, donc j'ai deux degrés de liberté, toutes les suites solutions sont de la forme lambda fois deux puissance n plus mu fois trois puissance n où lambda et mu sont des constantes complexes a priori. Donc ça c'est la solution sans second ordre, sans p2n et à cela pour trouver les solutions particulières avec p2n, on va justement s'intéresser à la recherche d'une solution particulière. Donc dans le premier cas on a p2n qui vaut 7 fois 4 puissance n. Ce qui est important à noter c'est que 4 n'est pas une des deux solutions, n'est ne vaut pas 2 ni vaut moins 3, donc du coup notre cours qu'est ce qu'il nous dit ? On va rechercher une solution particulière sous la forme a fois 4 puissance n avec a déterminé. Donc je l'injecte dans l'équation, très bien, je fais le calcul, ça fait a fois 4 puissance n fois 16 plus a fois 4 puissance n fois 4 moins 6 fois a fois 4 puissance n égale 7 fois 4 puissance n. Donc voilà je résous tout simplement et je me retrouve avec 14 a égale 7, c'est à dire que a égale 1 demi. Donc finalement j'ai ma solution particulière et l'ensemble des solutions c'est les solutions de l'équation homogène plus ma solution particulière et donc c'est de la forme lambda fois 4 puissance n plus mu fois moins 3 puissance n plus du coup 4 puissance n sur 2. Voilà avec lambda et mu appartenant à c carré donc ça c'est l'ensemble de toutes les solutions. Ensuite deuxième cas on se retrouve avec p de n qui vaut n fois 2 puissance n. Alors cette fois attention n est solution simple de l'équation caractéristique donc finalement on va monter d'un degré. C'est ce que nous dit notre cours, on va chercher une solution de la forme 1 polynôme fois 2 puissance n où ce polynôme va de degré 1 supérieur par rapport à ce qu'il y avait déjà dans la solution particulière. Donc là on avait quelque chose de degré 1 donc finalement on va chercher quelque chose de degré 2, la forme a n plus b fois n. Donc là ça devient un peu moins rigolo mais bon on fait quand même les calculs. J'injecte tout et j'essaye de voir quelles sont les valeurs de a et b pour que ça marche. Donc là j'essaie pour être un peu rigoureux de vous mettre tous les termes en n carré en bleu, tous les termes en n en orange et tous les termes en rien du tout de degré 0 par rapport à n en vert. Du coup je me retrouve avec égalité entre deux polynômes en n et deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients donc ça veut dire que mes coefficients de même degré doivent être égaux. Donc si je fais le calcul le terme en n carré saute, il me reste juste des termes en n et des termes de degré 0 et donc j'en déduis par identification que 20a égale 1 et que 18b plus 18a égale à 0 donc ça évidemment je sais résoudre, c'est un système de deux équations à deux inconnues et je me retrouve avec a égale 1 vingtième et b qui égale a moins 9 centièmes. Donc idem comme tout à l'heure, l'ensemble des solutions c'est la solution homogène plus ma solution particulière et donc si je remplace ça fait lambda fois 2 puissance n plus mu fois moins 3 puissance n plus ma solution particulière. Donc voilà dernier cas, maintenant ma solution particulière, mon second nom est encore un peu plus compliqué mais là je vais utiliser le principe de superposition donc je vais chercher la solution pour p2n égale ça et la solution pour p2n égale ça et je vais ajouter ces deux solutions. Ce qui est très pratique c'est qu'en fait finalement 3 fois 4 puissance n je peux l'écrire sous la forme 3 septième voir ma solution, mon p2n dans le premier cas et idem je peux écrire que le 5n fois 2 puissance n plus 3 finalement c'est 40 fois n fois 2 puissance n et donc la solution particulière c'est donc la combinaison linéaire des solutions particulières des deux dernières questions et donc je me retrouve avec le terme de ma solution homogène plus du coup 3 septième de ma solution particulière de tout à l'heure donc ça fait 3 quatorzième de 4 puissance n et donc 40 fois la solution et d'ailleurs c'est là où j'ai un petit doute si je multiplie par 40 oui c'est correct donc ça fait bien 40 fois la solution de tout à l'heure et donc ça commence à être un peu calculatoire mais voilà c'est ça la méthode, la solution particulière qu'on la cherche sous forme de polynôme on regarde est-ce que le terme à la puissance n 2 puissance n ou 4 puissance n est solution de l'équation caractéristique ou pas et si il est solution de l'équation caractéristique on va monter d'un degré la solution particulière qu'on recherche donc voilà pour cette méthode sur les suites définies les suites récurrentes d'ordre 2 alors pour certains vous allez le voir dans le chapitre suivant donc si pour vous vous n'avez rien compris du tout ça vous parle pas c'est pas grave ça veut dire que vous allez le voir très bientôt sinon tout simplement est-ce que le terme suite définie par suite récurrente d'ordre 2 si ça vous parle si vous avez vu ce concept là vous savez faire cet exercice il faut savoir faire cet exercice et si ça vous parle pas du tout c'est que vous allez voir ça dans le prochain chapitre voilà pour les méthodes sur les suites récurrentes d'ordre 2

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