Home

MPSI/PCSI

Maths

Probabilités

Espaces probabilisés

Dans cet exercice, nous voulons démontrer la formule suivante en utilisant la récurrence : la probabilité de l'intersection de n événements est supérieure ou égale à la somme des probabilités moins n moins 1. 

Nous commençons par l'initialisation pour n égal à 2. La probabilité de l'intersection est égale à la probabilité de A1 plus la probabilité de A2 moins la probabilité de leur union, soit P(A1) + P(A2) - P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - 1. Nous obtenons bien moins 1 ici.

Ensuite, nous passons à l'hérédité. La probabilité de l'intersection jusqu'à n plus 1 est égale à la probabilité de l'intersection jusqu'à n fois la probabilité de n plus 1 moins la probabilité de l'intersection avec A n plus 1. Nous utilisons la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) que nous connaissons depuis longtemps. Notre hypothèse de récurrence nous dit que cette probabilité est supérieure ou égale à la somme des P(Ai) moins n moins 1. Nous réinjectons ensuite P(An+1) dans la somme, sachant que cette probabilité est plus petite que 1. Comme il y a un moins, le plus grand, cela nous convient parfaitement. Nous réinjectons cette probabilité dans la somme jusqu'à n plus 1 et nous obtenons moins n plus 1, le moins 1 ici, qui correspond à n plus 1 moins 1 dans la formule.

L'hérédité est démontrée et la récurrence a été relativement rapide à faire. Nous avons bien obtenu la formule demandée. C'est tout pour cet exercice.

Salut ! Dans cet exercice, on veut montrer cette formule que la probabilité de l'intersection de n événements c'est supérieur ou égale à la somme des probabilités, moins n moins 1. On va le montrer par récurrence pour n supérieur ou égal à 2. On veut montrer cette formule. Pour n égale 2, l'initialisation, la probabilité de l'intersection, on ne vise la formule, c'est P de A1 plus P de A2 moins P de A1 union A2. C'est bien P de A1 plus P de A2 moins 1. Quand n est égal à 2, on veut avoir moins 1 ici. Ensuite, on fait l'hérédité. La probabilité de l'intersection en allant jusqu'à n plus 1, c'est la probabilité de l'intersection en allant jusqu'à n, la probabilité de n plus 1, moins la probabilité de cette intersection union A n plus 1. Là, on a vu ça comme A et B, et on a utilisé que c'est P de A plus P de B, moins P de A union B. On a utilisé la formule qu'on connaît depuis longtemps. L'hypothèse de récurrence nous dit que cette probabilité-là est supérieure ou égale à l'hypothèse de récurrence, donc c'est la somme des P de A i moins n moins 1. Là, on a P de A n plus 1 qu'on va pouvoir réinjecter là-dedans, et on utilise que ça, c'est une probabilité. C'est plus petit que 1. Vu qu'il y a un moins, le plus grand, ça nous convient très bien. On réinjecte cette probabilité dans la somme, ça veut dire qu'on va jusqu'à n plus 1, et on se retrouve avec moins n moins 1, donc ça fait moins n plus 1, le moins 1 ici, qui est juste moins n, qui correspond bien à n plus 1 moins 1 qu'on aurait dans la formule. L'hérédité est montrée, la récurrence était assez rapide à faire. On a bien la formule demandée, et voilà pour cet exercice.

Inégalité de Bonferroni

RELATED

Recommended videos

Écriture ensembliste

Probabilité de l’intersection