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Probabilités

Indépendance en Probabilité

Dans cet exercice de probabilité, nous considérons le contexte où notre voisine a deux enfants dont nous ignorons le sexe. Les trois événements à prendre en compte sont :

A. Les deux enfants sont de sexe différent.
B. L'aîné est une fille.
C. Le cadet est un garçon.

Nous voulons montrer que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants.

La probabilité de n'importe quel enfant de naître fille ou garçon est supposée être de 1,5 (50% pour les deux possibilités). Pour visualiser cela, nous utilisons un arbre avec les branches correspondant aux différentes possibilités de sexe pour chaque enfant.

La probabilité de l'événement A (deux sexes différents) est de 2 chances sur 4, car il y a deux branches qui nous intéressent sur les quatre possibles.

La probabilité de l'événement B (l'aîné est une fille) est également de 1,5, car il y a deux possibilités pour le sexe de l'aîné (garçon ou fille) avec une probabilité de 50% pour chacune.

La probabilité de l'événement C (le cadet est un garçon) suit le même raisonnement, avec une probabilité de 1,5.

Ensuite, pour montrer que ces événements sont deux à deux indépendants, nous calculons les probabilités des intersections de chaque paire d'événements et les comparons aux produits des probabilités correspondantes.

Nous constatons que la probabilité de l'intersection de A et B (deux sexes différents et l'aîné est une fille) est de 1 sur 4, ce qui est égal au produit des probabilités de A et B.

De même, l'intersection de A et C (deux sexes différents et le cadet est un garçon) a une probabilité de 1 sur 4, qui est également égale au produit des probabilités de A et C.

L'intersection de B et C (l'aîné est une fille et le cadet est un garçon) suit la même logique, avec une probabilité de 1 quart, qui est égale au produit des probabilités de B et C.

Cela démontre que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants.

Cependant, lorsque nous examinons la probabilité de l'intersection des trois événements (A, B et C), nous constatons qu'elle n'est pas égale au produit des probabilités individuelles.

La probabilité de l'intersection des trois événements est de 1 quart (soit la probabilité d'avoir une fille puis un garçon), tandis que le produit des trois probabilités individuelles est de 1,8.

Cela prouve que les événements A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants.

C'est ainsi que se termine cet exercice de probabilité.

Salut, bienvenue dans cet exercice de probabilité. Donc, le contexte. Notre voisine a deux enfants dont on ignore le sexe. On considère les trois événements suivants. A. Les deux enfants sont de sexe différent. B. L'aîné est une fille. C. Le cadet est un garçon. Donc, il faut montrer que A, B et C sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants. Donc, on suppose que la probabilité de la naissance d'avoir une fille ou un garçon, c'est 1,5. Alors, on fait un petit arbre, histoire de voir un peu ce qui se passe. C'est, j'allais dire premier tirage, non. C'est première naissance, c'est fille, garçon. Deuxième naissance, fille, garçon, fille, garçon. Avec à chaque fois une probabilité de 1,5. Donc, P de A, c'est d'avoir deux sexes différents parmi les enfants. Donc, c'est deux chances sur quatre, parce que, vu que c'est à chaque fois 50%, on considère que chaque branche a autant de chances d'arriver que les autres. Donc, on a une première branche, une deuxième branche qui nous intéresse. Deux branches, il y en a quatre au total. Donc, ça fait deux sur quatre, 1,5. P de B, c'est l'aîné est une fille. Donc là, l'aîné pour le premier enfant, il n'y a que deux choix possibles, garçon ou fille. 50% de chances chacun, donc la probabilité 1,5. Et P de C, le cadet est un garçon, même raisonnement, probabilité 1,5. Ensuite, on veut montrer qu'ils sont deux à deux indépendants. Donc, on va calculer les probabilités de chaque intersection. On va voir est-ce que c'est bien égal à la probabilité de chaque produce. Donc, la probabilité de A inter B. Donc, A inter B, c'est, on veut que les deux enfants soient de sexe différent, mais l'aîné est une fille. Donc, ça veut dire qu'on n'a pas le choix. On veut la probabilité de fille, garçon. Il n'y a qu'une possibilité parmi les quatre. Donc, la probabilité, c'est 1 sur 4. C'est bien égal à P de A fois P de B, qui est 1,5 fois 1,5. Donc, ils sont indépendants. A inter C. Donc, A inter C, c'est sexe différent et cadet, un garçon. Donc, ça veut dire cadet, un garçon. C'est forcément l'aîné est une fille, du coup, parce que sexe différent. Donc, fille, garçon. Et probabilité, on vient de la calculer, c'est 1 quart. Et c'est pareil, c'est égal au produit, donc indépendant A et C. P de B inter C, en fait, c'est pareil. C'est fille, garçon, parce qu'on veut l'aîné est une fille. Le cadet est un garçon. Donc, on a toujours la même branche, 1 quart. P de B fois P de C, parce qu'à chaque fois, on était sur 1,5. Donc, ils sont indépendants. Ensuite, il faut montrer qu'ils ne sont pas mutuellement indépendants. Donc, ça veut dire la probabilité de la triple intersection est différente du produit des trois probabilités. Donc, la probabilité de A inter B inter C, on l'a vu, à chaque fois, c'est la même chose. Donc, A et B et C, c'est juste la probabilité de B et C. Donc, ça veut dire d'avoir fille puis garçon. Ça, c'est 1 quart, on vient de le voir. Mais le produit des trois probabilités, c'est 1,5 fois 1,5 fois 1,5. Ça fait, du coup, 1,8. Ce n'est pas la même chose. Donc, les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. Et voilà pour cet exercice.

Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

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