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Probabilités

Indépendance en Probabilité

Dans cet exercice de probabilité, nous avons n événements, notés a1, a2, ..., an, qui sont mutuellement indépendants et ont des probabilités respectives pi. Nous souhaitons exprimer de manière simple la probabilité d'avoir au moins un de ces événements, c'est-à-dire p(a1, ou a2, ou ..., ou an), en fonction des pi.

Nous savons que si les événements sont mutuellement indépendants, alors leurs complémentaires le sont également. Ainsi, la probabilité de l'union de ces événements peut être calculée en utilisant la formule suivante : 1 - la probabilité de l'intersection des complémentaires.

La probabilité de l'intersection des complémentaires correspond au produit des probabilités des complémentaires de chaque événement. En utilisant la notation ai bar pour le complémentaire de ai, cela équivaut à 1 moins pi.

Donc, la probabilité d'avoir au moins un de ces événements est égale à 1 moins le produit de (1 - pi), de i allant de 1 à n.

Cette formule peut être appliquée dans le cas où une personne est soumise à n expériences indépendantes et a une probabilité p d'avoir un accident à chaque expérience. La probabilité qu'elle ait au moins un accident est alors égale à 1 moins la probabilité de ne pas avoir d'accident, soit 1 - (1 - p) à la puissance n.

C'est ainsi que l'on peut calculer la probabilité d'avoir au moins un de ces événements dans le contexte de cet exercice.

Salut, bienvenue dans cet exercice de probabilité. Le contexte, on nous dit qu'on a a1, etc. jusqu'à an, n événements d'un espace probabilisé omega p, on les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives pi est égal à p de ai, et on veut donner une expression simple de p de a1, ou a2, ou etc., ou an, en fonction des pays. Après, on verra l'application. Pour l'instant, on va faire cette partie-là. Donc, les ai, on sait qu'ils sont mutuellement indépendants, donc leurs complémentaires aussi. Ça, c'est quelque chose qu'il faut savoir. Si on ne le sait pas et qu'on n'en est pas convaincu, il y a juste à l'écrire, ça se fait très facilement. Mais voilà, il faut le savoir qu'on a des événements qui sont mutuellement indépendants, leurs complémentaires le sont aussi. Donc, la probabilité de ce gros union, c'est 1 moins la probabilité de l'intersection des complémentaires. Ça, pareil, c'est une formule qu'il faut savoir. Quand on prend le complémentaire d'une union, c'est l'intersection des complémentaires respectifs. Donc, c'est 1 moins, comme je disais, l'intersection des complémentaires, ils sont indépendants. Donc, probabilité de l'intersection des complémentaires, c'est le produit des probabilités des complémentaires, de 1 à n. Et ça, on sait que chaque p de a i bar, c'est 1 moins p i. Donc, c'est la probabilité de l'union. C'est 1 moins le produit de 1 à n, de 1 moins p i. Donc, voilà. Alors, pour l'application, on nous dit, on suppose qu'une personne est soumise à n expériences indépendantes, indépendantes les unes des autres, et qu'à chaque expérience, elle a une probabilité p d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident ? Alors, ça, il faut le comprendre. La probabilité d'avoir au moins un accident, c'est tout, sauf la probabilité d'en avoir aucun. Donc là, avoir au moins un accident, soit on le voit comme ça, soit accident au premier, ou accident au deuxième, ou accident, etc., au dernier. Ou alors, tout, sauf la probabilité d'en avoir aucun. Mais du coup, on utilise cette formule, sauf que là, tous les p i sont les mêmes, c'est égal à p. Donc, on met à la puissance n. Et donc, voilà, pour cet exercice.

Probabilité d’une réunion et indépendance

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