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Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

Le cours concerne les espaces vectoriels et présente des techniques pour montrer si un espace est un espace vectoriel ou non. Il y a deux techniques principales : 
1) Montrer que l'espace est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu en vérifiant trois propriétés : l'inclusion dans un espace vectoriel, la conservation des éléments par combinaison linéaire et la présence de zéro dans l'espace.
2) Montrer que l'ensemble peut être écrit comme un VECT (ensemble des combinaisons linéaires) puisque tous les VECTS sont des espaces vectoriels.
Il est également possible d'utiliser la notion de noyau d'une application linéaire pour montrer qu'un espace est un espace vectoriel.
Le cours présente plus en détail la technique 1 pour un exemple spécifique où l'ensemble E1 est l'ensemble des vecteurs de R3 dont les coordonnées vérifient une équation donnée. Les trois critères sont vérifiés pour montrer que E1 est un sous-espace vectoriel de R3.

Pour commencer sur les espaces vectoriels, on va faire un exercice assez basique où la question c'est comment montrer qu'un espace est un espace vectoriel ou non. Alors le premier truc c'est, je vais vous décrire les différentes techniques. Il y a deux familles de techniques qui sont vraiment très importantes d'avoir en tête, c'est-à-dire qu'il faut bien avoir la liste des techniques en tête avant de se lancer, ensuite de voir comment on adapte. Alors je vais vous faire plusieurs exemples bien sûr. Il y a les techniques pour prouver que quelque chose est un espace vectoriel et les techniques pour prouver que ce n'en est pas un. Pour prouver que c'est un espace vectoriel, soit technique numéro 1, montrer que l'espace est un sous-espace vectoriel, d'un espace vectoriel connu. Alors pour ça, il faut trouver trois petites propriétés. Montrer que 1, on est inclus dans un EV. Je vais dire ça maintenant, ça ira plus vite. B, vérifier qu'il y a conservation des éléments par combinaison linéaire, c'est-à-dire que si j'ai deux éléments qui sont dans l'ensemble que j'essaie de travailler, s'ils sont dedans et que toute combinaison linéaire de ces deux éléments sont dedans, c'est en gros les caractéristiques d'un espace vectoriel. Et enfin la présence du 0, donc avoir 0 dans l'espace. Si on a ces trois critères-là, alors on peut dire qu'on a un espace vectoriel. Deuxième technique, qui en général est beaucoup plus rapide, ça demande la maîtrise de savoir ce que c'est l'annotation VECT, mais c'est réussir à montrer que l'ensemble peut s'écrire comme un VECT. Alors pour ceux qui ne l'ont pas vu, VECT c'est juste un ensemble. Et si je vous donne par exemple VECT de vecteurs U et V, ça veut dire, ce que signifie cet ensemble VECT, c'est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs U et V. Donc par exemple dans VECT de U et V, il y a 2U plus 3V. Il y a moins 5U plus 7V. Donc l'idée c'est que si on arrive à montrer qu'un ensemble peut s'écrire, enfin que l'ensemble prend E3 dans l'exercice, s'écrit comme VECT de quelque chose, alors vu qu'on sait par définition ou par le cours que tous les VECTS sont des espaces vectoriels, on aura démontré que c'est un espace vectoriel. Donc ce n'est pas une démonstration directe comme la première technique. Et en fait d'ailleurs vous remarquez qu'il n'y a même pas la technique d'utiliser la définition fondamentale de l'espace vectoriel. C'est soit technique 1, on montre que c'est un sous-espace vectoriel, on se rapproche un peu de la définition, mais on est quand même en train d'utiliser les structures d'espace vectoriel de quelque chose de plus gros et de connu. Petit 2, on utilise aussi le fait qu'on sait qu'un VECT c'est un espace vectoriel, donc on s'y rattache. Petit 3, pour ceux qui ont déjà vu le chapitre suivant, normalement chronologiquement sur les applications linéaires, quelque chose de très rapide, donc je le ferai en vidéo au bonus, c'est se rendre compte que l'espace considéré, le E4 ou E5 ou n'importe quoi qu'on vous donne, peut en fait être considéré comme le noyau d'une application linéaire. Donc c'est pareil que la technique 2, on se rend compte qu'en fait, ce n'est pas un VECT ici, mais ce qu'on appellera un noyau par la suite. Donc se rendre compte que quelque chose est un ensemble qu'on sait par le cours être un espace vectoriel. C'est ça en gros les astuces principales. Je vais vous montrer la technique 1, histoire de l'avoir fait une fois, mais ensuite en général, il faudra quand même plus se focaliser sur la technique 2, voire 3 quand vous aurez fait le cours. Technique 1 pour l'ensemble E1. L'ensemble E1, c'est l'ensemble des vecteurs de R3 tels que x plus y plus 3z égale 0. Normalement, vous avez une petite idée que ce truc-là, c'est en fait une équation de plan. C'est un plan dans l'espace. Donc on va vérifier les trois critères pour montrer que c'est un SEV. Donc est-ce que E1 fait partie d'un espace vectoriel ? Oui, E1 est inclus dans R3, parce que c'est un sous-ensemble des vecteurs de R3. Donc chaque élément de E1, par définition, c'est écrit dans la définition de E1, est un élément de R3. Donc on a bien A qui est vérifié. Vérifions la conservation par combinaison linéaire. Donc on va prendre deux éléments, x1 et x2, qui sont dans E1. On va prendre deux réels, lambda et mu. On va pouvoir vérifier pour x1 et x2. Donc x1 et x2 ont des coordonnées, petit x, y, z, 1, petit x, y, z, 2 à chaque fois, l'indice 2, qui vérifie quoi ? L'équation du fait d'être dans E1. S'ils sont dans E1, c'est-à-dire qu'ils vérifient ce truc-là. Donc j'ai bien x1 plus y1 plus 3z1 égale 0, et de même, x2 plus y2 plus 3z2 égale 0. Maintenant, écrivons une combinaison linéaire, et voyons si une fois le x de la combinaison linéaire, plus une fois le y de cette combinaison linéaire, plus trois fois le z, c'est bien 0. J'appelle x3 la combinaison linéaire. Lambda fois le vecteur x1, plus mu fois le vecteur x2. J'écris, c'est lambda plus mu fois tout ça, et j'obtiens ça. C'est donc lambda x1 plus mu x2, lambda y1 plus mu y2, etc. Je vais appeler celui-ci le petit x de X3, le petit y de X3, le petit z de X3. Est-ce que si je fais x3 plus y3 plus 3z3, ça vaut 0 ? Si ça vaut 0, alors cette combinaison linéaire quelconque est bien dans E1. J'ai donc la conservation. Bon, ça va se faire tout seul. Vous écrivez une calcul, il y a plusieurs manières de le faire, mais vous écrivez la somme de ça plus ça plus 3 fois ça, et vous obtenez ensuite, en remettant ensemble tous les termes en lambda, vous avez lambda fois x1 y1 plus 3z1. Ici, vous avez mu fois x2 plus y2 plus 3z2. Par définition, ça et ça, c'est 0. Le tout est égal à 0, et donc j'ai démontré de cette manière que la combinaison linéaire est bien dans E1. Ce n'est pas bien compliqué, c'est un peu laborieux, mais ça se fait. Dernier élément, est-ce que l'élément 0 est bien dans E1 ? Oui, parce que 0 plus 0 plus 3 fois 0, ça fait 0, donc ça appartient. En utilisant ça, j'ai montré par la technique la plus classique que E1 est un espace vectoriel.

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