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Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

Dans cet extrait, le cours fait référence à différents cas où l'espace n'est pas un espace vectoriel. Le premier cas étudié est celui de E2, où l'équation x + y + 3z = 2 est donnée. Il est souligné que cette équation a une constante séparée des variables, ce qui indique un caractère non linéaire. En utilisant les définitions de base d'un espace vectoriel, il est prouvé que E2 n'est pas un espace vectoriel car l'élément 0 n'appartient pas à l'espace.

Les cas 4 et 5 sont également présentés comme des exemples où l'espace n'est pas un espace vectoriel. Il est mentionné que la technique habituelle de montrer que 0 n'appartient pas à l'espace ne fonctionne pas pour ces cas. Au lieu de cela, il est suggéré de trouver deux éléments dans l'espace tels que le produit de leurs coordonnées soit égal à 0. Ensuite, il est spécifié que si E4 est un espace vectoriel, la somme de ces deux éléments devrait également être dans E4. En prenant l'exemple de 1, 0 et 0, 2, il est montré que leur somme, 1, 2, n'est pas dans E4, ce qui prouve que E4 n'est pas un espace vectoriel.

Le dernier exemple présenté s'appelle E5 et montre également une relation non linéaire. Il est souligné que dès qu'il y a des constantes ou des relations non linéaires, cela peut indiquer que l'espace n'est pas un espace vectoriel. En prenant l'exemple de Y = X^2, il est prouvé que E5 n'est pas un espace vectoriel en montrant que la somme de deux éléments dans E5 n'est pas dans E5.

En résumé, le cours discute de ces différents cas pour illustrer des situations où l'espace n'est pas un espace vectoriel en utilisant des outils tels que l'élément 0 n'appartenant pas à l'espace, l'absence de conservation par combinaison linéaire, et l'existence de relations non linéaires ou de constantes.

Je vais vous faire ensuite un petit tour des cas où on va voir que l'espace n'est pas un espace vectoriel. Ça va être en l'occurrence le petit 2 pour commencer, E2, x plus y plus 3z égale 2. Déjà l'intuition pour vous, il y a quelque chose qui est, on l'appellera plutôt affine, il y a quelque chose qui est de l'ordre du non linéaire ici parce que mes variables x, y, z sont égales à quelque chose de constant, il y a une constante qui intervient, qui est séparée des variables. Donc ça c'est étrange et ça sent le truc pas trop linéaire. Donc ce qu'on va faire c'est qu'on va dire, pour ce genre de truc là, ça vaut le coup de checker quelles sont les définitions de base d'un espace vectoriel. Alors c'est ce que je dis ici, soit on peut utiliser dans mes techniques pour montrer que ça n'est pas un, il faut déjà l'intuition du fait que ce n'est pas un espace vectoriel, mais ça je vous le donne, c'est du cours si vous voulez, l'intuition c'est qu'il y a une constante qui traîne, ça c'est un symbole à retenir, constante qui traîne égale pas très bon, et voir en haut, soit l'élément 0 n'appartient pas à l'espace, ok, soit, parce que des fois l'élément 0 appartiendra à l'espace mais pourtant ça ne sera pas un espace vectoriel, soit il n'y a pas de conservation par combinaison linéaire. Ici c'est très facile, dans ce cas là, comme 0, 0 n'appartient pas à l'espace, vu qu'on a 0 plus 0 plus 3 fois 0 qui fait 0 qui est différent de 2, E2 n'est pas un espace vectoriel. Très facile. Des cas un peu plus vicieux, c'est les cas 4 et 5. Donc 4 et 5, je vais vous les montrer ici. 4, donc la première intuition c'était, il y a une constante qui traîne, c'est pas bon, c'est plutôt un espace du type affine, bon, même si c'est pas complètement au programme, voilà, c'est un espace où il n'y a pas des choses, c'est pas bon. Deuxième exemple de ça sent pas bon, quand vous avez de la multiplication. En gros, si vous voulez, tout ce qui est du linéaire, c'est-à-dire du 3x plus 5y, tout ce qui est de la combinaison linéaire égale à 0, c'est bon. Tout ce qui est des multiplications, des constantes, etc, ça sent pas bon. Donc, le problème qu'on a ici, c'est que la technique très simple de montrer que 0 n'appartient pas à l'espace ne marche pas. Parce que 0, 0, 0, c'est bien un point, c'est bien dans E4, si vous voulez. D'ailleurs, je vous ai écrit 0, 0, 0, hop, on peut ne pas se prendre la tête. En fait, je crois que je vous ai fait la version de l'exercice un petit peu, j'ai un peu fait une version, comment dire, une version dans R3. Ce qui n'est pas trop grave en soi, je peux vous le faire comme ça. Je peux le faire dans R2. Je n'avais pas vu que c'était dans R2, donc je l'ai fait comme si c'était dans R3, j'ai mal vu. Mais ce n'est pas grave, ça ne change rien, j'ai juste enlevé. Donc, en gros, il y a 0 qui est dedans, donc ce n'est pas la bonne piste. Néanmoins, ça sent pas bon, donc on va essayer de trouver une combinaison linéaire. On va trouver deux éléments, deux vecteurs, tels que le produit de leur coordonnée vaille 0. Ensuite, l'idée, ça va être de dire, attendez, je vais prendre deux éléments tels que leur somme ne soit pas dans E4. Parce que si E4 est un espace vectoriel, la somme de deux éléments dans E4 devrait être dans E4. Je prends tout simplement 1, 0 et 0, 2. Ces deux-là sont bien dans E4 parce que 1 fois 0, ça fait 0, 0 fois 2, ça fait 0. Vous voyez l'astuce, j'ai cherché le contre-exemple en faisant la somme des deux. On a une petite combinaison linéaire toute bête, la somme, ça vaut 1, 2. Ce n'est pas dans E4. Ça, c'est un bon exemple. Le dernier exemple que je vais vous montrer, c'était la patte conservation d'ECL, donc pas 1, 2, E. C'était E5. De la même manière, on est dans R2, je crois que j'ai encore fait un exemple dans R3, mais ce n'est pas grave. De la même manière, on a une relation non linéaire. Ça sent pas bon, donc il faut développer cette intuition, et cette intuition ne sort pas complètement de nulle part. Encore une fois, c'est soit on voit des constantes, on sort en gros du schéma AX plus BY plus CZ égale 0. Quand on sort de ce schéma là, de ce genre de relation là, en gros des combinaisons linéaires, ça sent pas bon. Donc dès qu'il y a des fois, ça sent pas bon. Y égale X2, c'est X fois X, ça sent pas bon. Donc relation linéaire, ça sent pas bon. On en trouve deux. Donc ça, ça va être l'astuce. Trouvons-en deux dans E5 telles que leur somme n'est pas dans E5. Même astuce que le 4. Donc, qu'est-ce que j'ai fait, moi ? On n'a rien vu ici. Je prends deux fois le même élément. Je prends 1, 1 et 1, 1. Ça marche. Ils sont tous les deux, c'est le même encore une fois, mais je fais un exemple très simple. Ils sont tous les deux dans E5 parce que le X au carré, ça fait bien le Y. Et pourtant, la somme des deux, ça fait 2 et 2. En fait, ça, c'est pas dans E5 parce que 2 au carré, ça fait pas 2. Voilà, donc pas de conservation par combinaison linéaire. Donc c'est pas un E. Donc voilà, ces deux exemples sont assez similaires. Le premier exemple que je vous ai montré ici n'était pas très compliqué non plus. On pouvait utiliser le critère du zéro. Et ça ira pour les contre-exemples de qu'est-ce qui n'est pas un espace vectoriel. On se retrouve dans la prochaine vidéo. À tout de suite.

Cas où ce n'est PAS un EV

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