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Famille de vecteurs

Ce cours traite de la notion de liberté ou de liaison d'une famille de vecteurs. L'objectif est de déterminer si une famille donnée est libre ou liée en utilisant une méthode classique. On suppose l'existence d'une combinaison linéaire qui lie tous les éléments de la famille ensemble, et on cherche à trouver une contradiction à cette hypothèse. Si une telle combinaison linéaire existe, alors tous les coefficients doivent nécessairement être égaux à zéro, ce qui prouve que la famille est libre. 

On écrit donc cette combinaison linéaire et on la traduit en un système d'équations, qu'on résout pour trouver les coefficients lambda et mu. Si on trouve que tous les coefficients sont nuls, cela signifie que la famille est libre. On répète cette démarche pour différentes paires de vecteurs de la famille pour déterminer si elles sont libres ou liées.

Enfin, pour déterminer si la famille de vecteurs dans son ensemble est libre ou liée, on rédige une nouvelle combinaison linéaire en introduisant des coefficients lambda1, lambda2, et lambda3, et on cherche à trouver si cette combinaison linéaire a une solution unique. Si elle en a, alors la famille est liée, sinon elle est libre. 

Dans l'exemple donné, on observe que la famille v1, v2, v3 est liée, car il est possible de trouver une combinaison linéaire telle que -2v1 + v2 - v3 = 0, ce qui montre que les trois vecteurs sont liés dans un plan et qu'aucun d'entre eux ne sort de ce plan. Cela signifie que la famille ne couvre pas l'ensemble de l'espace, ce qui fait qu'elle est liée.

méthode très classique, très importante, comprendre quand est-ce qu'une famille est libre ou liée. Donc on vous donne dans R3 trois vecteurs, on vous dit, montrez que V1, V2 est libre, faire de même pour V1, V3, puis V2, V3. La question qui tue un peu, c'est, est-ce que la famille V1, V2, V3 est libre ? En gros, est-ce que avoir les éléments libres deux à deux implique la liberté des trois ? Intéressant. Je vous montre un peu le principe général de ça. C'est vraiment une vidéo de cours, encore une fois, on essaie de vous faire des exercices plus difficiles, mais aussi des exercices assez basiques, méthodes de cours, pour revenir sur les bases. On suppose qu'il existe une combinaison linéaire. C'est toujours ça qu'on va faire. On ne va jamais montrer la liberté de manière active, on va toujours montrer la liberté d'une famille de manière un peu contraposée, si vous voulez, un peu par l'absurde. Donc on va supposer que la famille est liée, ça veut dire qu'il existe une combinaison linéaire qui lie tous les éléments ensemble. On va trouver une contradiction à ça. La contradiction sera que si je pose qu'il y a une telle combinaison linéaire, je me rends compte que tous les coefficients doivent nécessairement être égaux à zéro. La liberté, c'est ça. C'est plus être non lié qu'autre chose. Alors, on suppose qu'il existe une combinaison linéaire soit lambda mu tel que lambda v1 plus mu v2 égal zéro. C'est ça qu'on appelle un test de liberté. On écrit ce que ça vaut, on traduit le système, si vous voulez. lambda v1 plus mu v2, c'est pas très compliqué, ça fait lambda fois 1 plus 4 fois mu, etc. Bon, je remplace en gros 1, 1, 0, 4, 1, 4, et je vais les trois égaux à zéro. Très vite, je me rends compte que mu y a le zéro, donc lambda y a le zéro, donc tout est nul. S'il existe une telle combinaison linéaire, la seule possible, c'est avec des coefficients tout nuls, tous égaux, tous nuls, donc la famille n'est pas liée, elle est libre. Voilà comment on fait. Alors, petit 2. Pour v1, v3, c'est exactement le même délire. Donc là, je rédige un peu moins parce que je veux aller vite, et vous avez compris, vous avez ici la rédaction type, on appelle ça un test de liberté. Là, c'est la même chose, je prends un lambda et un mu, il faut rédiger, soit lambda mu appartient à R, soit lambda v1 plus mu v3 y a le zéro, je trouve un petit système, et j'obtiens quoi directement ? Mu y a le zéro, lambda y a le zéro. Donc, parfait, v1, v3 est libre, je fais la même chose pour les deux derniers, v2, v3, et j'obtiens de même, hop, lambda v2 plus mu v3 y a le zéro, j'introduis lambda et mu avec une bonne rédaction, encore une fois, se référer à tout ça. Et je trouve, un système, lambda plus mu y a le zéro, lambda moins mu y a le zéro, donc tout est nul, la famille est libre. Bon, est-ce que la famille v1, v2, v3 est libre ? Ça, c'est le plus intéressant. On va regarder. Là, l'intuition, déjà, vous pouvez peut-être la voir, parce qu'on comprend qu'on est dans R3, on est dans l'espace, j'ai trois vecteurs dans l'espace, on va regarder, soit elle est libre, et en fait, la famille v1, v2, v3, en fait, si elle est libre, elle forme une base de l'espace, si elle n'est pas libre, il va falloir comprendre ce qui se passe. Alors, la méthode, c'est quoi ? Pareil, je rédige un peu mieux, vu qu'on passe à un autre cadre, soit lambda1, lambda2, lambda3, sont réels, tel que on a la combinaison linéaire suivante. On suppose son existence, on va essayer de montrer que, soit on trouve une combinaison linéaire, soit les trois sont nuls. Donc on écrit ça, lambda1 plus machin, machin, j'écris mon petit système, je me rends compte qu'il n'est pas très compliqué à gérer, puisque j'ai ça qui me donne lambda2, également un lambda3, et je remplace ça tout le temps, je remplace lambda3 par lambda2 ici, ça me donne ça, et je remplace lambda3 par lambda2 ici, ça me donne ça. Donc déjà, j'ai deux lignes qui sont les mêmes, je la dégage, et j'obtiens ça. Là, en fait, je ne montre pas du tout que les trois sont nuls. Donc je suis capable de trouver une combinaison linéaire. Laquelle ? En fait, je prends, par exemple, je fixe un des trois, parce que si j'ai une combinaison linéaire 3x plus 8y plus 2z égale 0, j'ai en fait une infinité de combinaisons linéaires. Si je multiplie par 10, j'ai 30x plus 80y plus 20z, si vous voulez. Donc vous n'aurez jamais une combinaison linéaire unique quand vous résolvez ce genre de trucs. Soit vous trouvez que tout est nul et donc c'est libre, si c'est lié, vous n'allez pas trouver trois nombres uniques, vous allez trouver des nombres qui dépendent l'un de l'autre, comme ce que je viens de montrer avec mon x10 là. Donc en fait, on prend 2 égale 1, je prends le truc le plus simple, et comme ça je peux calculer lambda3 et lambda1. Donc j'obtiens un couple de 3, donc un ensemble de 3 éléments, j'ai 3 constantes, moins 2, 1, moins 1. J'ai bien une famille liée. Cette famille est liée comment ? J'ai moins 2, 1, moins 1, j'observe que moins 2 fois v1 plus v2 moins v3 égale à 0. Est-ce que c'est vrai ? Vous pouvez faire le calcul, moins 2 fois v1, moins 2 fois ça, ça fait moins 2, plus 4, ça fait plus 2, moins v3, donc moins 2, ça fait 0. Ok, ça a l'air de marcher. Vous le vérifiez, ça fonctionne. Qu'est-ce que ça veut dire ? La famille est liée. Donc ils sont 2 à 2, les deux qui sont indépendants, mais les 3 sont liés, ça veut dire qu'en fait le 3e, si ça, ça définit un plan, si c'est lié, le 3e il est là. En fait le 3e n'a pas le droit de partir comme ça dans l'espace. Donc on vous dit, si cette famille n'est pas libre, elle serait libre, j'aurais une base de l'espace. En fait ce qu'on comprend, c'est que là j'ai v1, v2, on pourrait croire que v3 est hors du plan, et en fait mon v3, il est dans le plan, il n'est pas en dehors, il est collé dans le plan. Donc c'est possible dans le plan de trouver des vecteurs qui 2 à 2 sont indépendants. Il suffit de les prendre non parallèles. Donc c'est ça qui se passe. Ils sont dans le même plan et donc aucun des parallèles n'a aucun, mais par contre il n'y en a aucun qui sort du plan et c'est pour ça que la famille est liée, je n'arrive pas à voir quelque chose qui couvre l'ensemble de l'espace. Voilà, j'espère que ça vous a aidé et n'hésitez pas à me dire si vous avez des questions. A la prochaine, bye bye.

Famille libre

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