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Géométrie - Nouvelle Calédonie 2022

L'exercice porte sur la géométrie dans l'espace et aborde plusieurs concepts classiques. Dans un premier temps, on nous demande de trouver les coordonnées du point G, qui est obtenu en additionnant les vecteurs AB, AD et AE. En utilisant les relations données, on obtient les coordonnées de G qui sont (3, 2, 1). Ensuite, on nous demande de montrer que le vecteur N de coordonnées (2, 0, -3) est un vecteur normal au plan EHI, et de déterminer une équation cartésienne de ce plan. En utilisant la formule d'une équation cartésienne et en remplaçant les coordonnées d'un point sur le plan, on trouve que l'équation cartésienne de EHI est 2X - 3Z + 3 = 0. Ensuite, on nous demande de trouver les coordonnées du point I en utilisant les informations sur le triangle EIF et le plan EHI. En remplaçant les coordonnées de I dans l'équation cartésienne de EHI, on trouve que ZI = 2. Les coordonnées de I sont donc (3.5, 0, 2). On nous demande ensuite de déterminer une mesure au degré près de l'angle EIF en utilisant le produit scalaire. En calculant le produit scalaire entre les vecteurs IE et IF et en utilisant la formule du cosinus, on trouve que l'angle EIF mesure environ 112.6 degrés. Enfin, on nous demande de donner une représentation paramétrique de la droite delta passant par le point R(6, -3, -1) et dirigée par le vecteur U(-3, 4, 1). La représentation paramétrique de delta est alors x = 6 - 3t, y = -3 + 4t, z = -1 + t. On nous dit également qu'une équation du plan BFG est x = 3. Finalement, on nous demande de déterminer les coordonnées du point K, intersection de la droite delta et du plan BFG. En remplaçant x par 3 dans la représentation paramétrique de delta, on obtient une équation en une inconnue t. En résolvant cette équation, on trouve que t = 1, et en remplaçant t par 1 dans les coordonnées de delta, on trouve que les coordonnées de K sont (3, 1, 0). On nous demande également de vérifier si le point K appartient au segment BC, et en observant que les coordonnées de K sont les demi-sommes des coordonnées de B et C, on conclut que K est bien le milieu de BC et donc qu'il appartient au segment BC.

Suites et fonctions - Centres étrangers 2022

Dans cet exercice de BAC, nous devons étudier les exponentielles et les suites. Nous commençons par trouver les limites de la fonction h(x) = e^x - x. On détermine les limites lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. En utilisant la méthode de factorisation, nous trouvons que la limite de h en plus l'infini est plus l'infini et la limite de h en moins l'infini est plus l'infini. Ensuite, nous analysons les variations de h en utilisant sa dérivée. Nous trouvons que h est décroissante pour x négatif et croissante pour x positif. Nous dressons un tableau de variations en utilisant les limites trouvées précédemment. Ensuite, nous étudions la fonction f(x) = e^x et trouvons son équation de tangente au point d'abscisse 0. En utilisant la dérivée de f, nous trouvons que la tangente a pour équation y = x + 1. Ensuite, nous introduisons la suite un = e^(1/n) - 1/n - 1 et déterminons sa limite lorsque n tend vers plus l'infini. En utilisant les propriétés des limites, nous trouvons que la limite de un est 0. Enfin, nous démontrons que pour tout entier naturel non nul n, un+1 - un = h(1/(n+1)) - h(1/n). En utilisant les résultats précédents sur les variations de h, nous trouvons que la suite un est décroissante. En utilisant un tableau de valeurs, nous trouvons la plus petite valeur de n pour laquelle l'écart entre la tangente et la courbe de f est inférieur à 0,01. En lisant dans le tableau, nous trouvons que n = 8 est la valeur recherchée.

Probabilités - Centres étrangers 2022

Dans cet exercice, nous abordons les notions de probabilités et de variables aléatoires. Nous sommes dans le contexte de la fabrication de paires de lunettes et nous avons deux traitements possibles, T1 et T2. Nous devons calculer différentes probabilités, notamment en utilisant les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Nous commençons par remplir un tableau en utilisant les probabilités données dans l'énoncé. Ensuite, nous calculons la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour au moins un des deux traitements. Pour cela, nous utilisons la formule de l'union des événements. Ensuite, nous calculons la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour les deux traitements. Pour cela, nous utilisons la formule de l'intersection des événements. Nous vérifions ensuite si les événements A et B sont indépendants en utilisant la formule des probabilités conditionnelles. Nous calculons ensuite la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour un seul des deux traitements, en utilisant la formule de l'union des événements moins la probabilité de l'intersection. Nous calculons également la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2, sachant qu'elle présente un défaut pour le traitement T1 en utilisant la formule des probabilités conditionnelles. Ensuite, nous passons à la partie B de l'exercice, où nous considérons un échantillon de 50 paires de verres prélevées au hasard dans la production. Nous introduisons la variable aléatoire X, qui compte le nombre de paires de verres présentant le défaut pour le traitement T1 dans cet échantillon. Nous montrons que X suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,1. En utilisant la formule de la probabilité d'une loi binomiale, nous calculons la probabilité d'avoir exactement 10 paires de verres présentant ce défaut dans l'échantillon. Nous calculons également l'espérance de la variable aléatoire X, qui donne en moyenne le nombre de paires de verres dans un échantillon de 50 avec ce défaut. Cela conclut l'exercice sur les probabilités.

Géométrie - Centres étrangers 2022

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Suites et fonctions 1 - Centres étrangers-2 2022

Dans cet exercice de BAC sur les fonctions et suites, on nous pose différentes questions. Dans la première question, on nous donne une fonction g et on nous demande de déterminer sa convexité. Pour cela, on dérive deux fois la fonction et on observe le signe de la dérivée seconde. En analysant les résultats, on conclut que la fonction g est convexe. Dans la deuxième question, on nous demande de déterminer si une tangente est parallèle à une droite donnée. Pour cela, on regarde le coefficient directeur de la tangente, qui est égal à la dérivée de la fonction au point considéré. En observant les graphiques, on conclut que la tangente est parallèle à la droite d'équation y = x. Dans la troisième question, on nous demande si une suite est majorée, bornée ou minorée. On observe que la suite est comprise entre -1 et 1, ce qui signifie qu'elle est bornée. Dans la quatrième question, on nous indique que la suite change de signe à chaque terme. En analysant cette propriété, on conclut que les termes de la suite ont le même signe si leur indice est pair, et un signe différent si leur indice est impair. Dans la cinquième question, on nous donne des valeurs pour une suite et on nous demande de déterminer une autre valeur manquante. En utilisant les équations données, on trouve rapidement la valeur recherchée. Dans la sixième question, on nous dit qu'une suite est définie par une formule complexe et on nous demande quelles sont ses variations. En analysant la formule, on conclut que la suite est décroissante. Enfin, dans la dernière question, on nous donne des informations sur le temps de génération des cellules. En utilisant des calculs mathématiques, on détermine qu'il faut environ 20 minutes pour qu'une cellule se divise en deux. Cet exercice aborde différents aspects des fonctions et suites, en utilisant des calculs et des raisonnements logiques pour parvenir aux réponses.

Suites et fonctions 2 - Centres étrangers-2 2022

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Probabilités - Centres étrangers-2 2022

Dans cet exercice de bac sur les probabilités, nous devons effectuer différents calculs avec des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires. Pour commencer, nous avons des informations sur une étude statistique réalisée dans une entreprise, qui indiquent que 48% des salariés sont des femmes et 52% sont des hommes. Parmi les femmes, 16,5% sont cadres et parmi les hommes, 21,5% sont cadres. Ensuite, nous devons représenter cette situation par un arbre pondéré, en prenant en compte les différentes probabilités. Par exemple, la probabilité d'être une femme est de 0,48 et la probabilité d'être un cadre sachant que c'est une femme est de 0,165. Nous utilisons ces informations pour calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre, soit 0,0792. Nous devons ensuite démontrer que la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à 0,191, en utilisant la formule des probabilités totales. La probabilité d'être un cadre sachant que c'est un homme est également calculée. Par la suite, nous devons déterminer si les événements "être une femme" et "être un cadre" sont indépendants en comparant la probabilité de leur intersection avec le produit de leurs probabilités respectives. Dans ce cas, les événements ne sont pas indépendants. Nous introduisons ensuite une variable aléatoire X qui représente le nombre de cadres parmi un échantillon de 15 salariés. Nous déterminons la probabilité que l'échantillon contienne zéro ou un cadre, soit 0,1890. Nous calculons ensuite l'espérance de la variable aléatoire X en utilisant la formule correspondante. Dans la dernière partie de l'exercice, nous considérons un échantillon de N salariés et cherchons la valeur minimum de N pour avoir une probabilité supérieure ou égale à 0,99 d'avoir au moins un cadre dans cet échantillon. En utilisant le logarithme, nous trouvons que N doit être supérieur ou égal à 22. Cet exercice met en pratique différentes notions de probabilités, notamment les probabilités conditionnelles, les probabilités totales et les variables aléatoires.

Le vin et ses composants (1)

Dans cette vidéo, on s'intéresse à la case blanche d'un vin, qui est un précipité blanc dû à une trop grande concentration des ions fer. Pour mesurer cette concentration, on réalise un titrage spectrophotométrique en plusieurs étapes. Tout d'abord, on oxyde les ions fer 2 en fer 3, puis on fait réagir ces derniers avec des ions thiocyanate pour former un composé coloré. On réalise ensuite des solutions étalons avec différentes concentrations de ce composé, et à partir de la couleur de la solution de vin, on peut déterminer sa concentration en fer. Les ions thiocyanate sont ajoutés en excès pour que tous les ions fer réagissent. On prépare également une solution de vin en mélangeant du vin blanc, de l'acide chlorhydrique, une solution de thiocyanate et de l'eau oxygénée. On mesure l'absorbance de plusieurs solutions, ce qui permet de tracer une courbe d'étalonnage. En utilisant la loi de Beer-Lambert, on peut établir une relation entre l'absorbance et la concentration massique en fer. On obtient une absorbance de 0,16 pour le vin étudié, ce qui correspond à une concentration de 1,7 mg/L de fer. Comme cette concentration est inférieure à 10 mg/L, il n'y a aucun risque de formation de case blanche dans ce vin.

Le vin et ses composants (2)

Dans cette vidéo, Théobald de Cidéo explique un exercice de chimie sur l'estérification dans le vin. Il s'intéresse à la durée de ce processus et à sa relation avec les conditions expérimentales. Le protocole consiste à mélanger de l'acide éthanoïque pur avec de l'éthanol pur dans un bain au glace. Ensuite, on prépare plusieurs tubes contenant du mélange réactionnel et une solution d'hydroxyde de sodium. On plonge les tubes dans un bain marie à différentes températures, puis on les met dans un bain au glace pour arrêter la réaction. Ensuite, on réalise un titrage de l'acide éthanoïque restant dans chaque tube. La première question concerne le placement du mélange réactionnel dans un bain au glace avant l'instant T0 et avant le titrage. La réponse est que la température est un facteur cinétique et en le plaçant dans un bain au glace, on bloque la réaction avant le titrage. La deuxième question consiste à montrer que le mélange réactionnel est équimolaire. En calculant la quantité de matière en acide éthanoïque et en éthanol à partir de leur masse volumique et de leur volume, on trouve que les deux quantités sont équivalentes. La question suivante demande de vérifier que la quantité d'acide contenue dans chaque tube à la date T0 est de 17,3 millimoles. En utilisant les données fournies dans l'énoncé, on calcule cette quantité et on trouve le résultat demandé. Ensuite, on explique le rôle du bleu de thymol, qui est un indicateur coloré utilisé lors du titrage pour repérer l'équivalence. On définit aussi l'équivalence comme le moment du titrage où les réactifs ont été apportés en proportion stoichiométrique. On montre ensuite que la quantité d'acide restant à la date Ti dans un tube est donnée par CbxVbi, où C est la concentration de la solution d'hydroxyde de sodium et Vbi est le volume à l'équivalence pour le tube i. Enfin, on détermine la quantité d'éthanoate d'éthyle produite dans chaque tube à partir de la relation Ni = N0 - CbVbi. On utilise un tableau d'avancement pour établir les quantités initiales et finales des réactifs. On applique cette formule pour chaque tube afin de remplir un tableau de résultats expérimentaux. Il reste à trouver la valeur de la quantité de matière N2 manquante dans le tableau en utilisant la formule N2 = N0 - CbVb2. On effectue le calcul et on obtient la valeur de N2. Dans la prochaine vidéo, Théobald continuera cet exercice.

Le vin et ses composants (3)

Dans cette vidéo, Théobald de Cidéo conclut l'exercice sur le processus d'estérification du vin. Il se concentre sur la vitesse d'apparition des estères. Pour cela, il utilise un graphe qui montre la quantité de matière d'estère formée au fil du temps. Théobald explique que la vitesse volumique d'apparition d'un estère est le quotient de 1 sur le volume de la solution, multiplié par la dérivée du nombre de molles d'estères par rapport au temps. En examinant les tangentes de la courbe, il observe que le coefficient directeur diminue au fil du temps, ce qui signifie que la vitesse volumique d'apparition diminue également. Il est ensuite demandé de déterminer la valeur de la vitesse volumique d'apparition de l'ester à 20 minutes. Théobald utilise la tangente à ce point pour trouver le coefficient directeur, qui est égal à la dérivée du nombre de molles par rapport au temps à 20 minutes. Après quelques calculs, il obtient une vitesse volumique d'apparition de 6,0 x 10^-2 molles par litre par minute. Ensuite, il est demandé de déterminer le temps de demi-réaction, qui est le temps auquel la moitié de l'ester est apparue. Théobald utilise la courbe et trouve que le temps de demi-réaction est de 6,5 minutes. Il compare ensuite ce temps à la durée mentionnée en introduction de la vidéo, selon laquelle le processus d'esterification peut prendre plusieurs jours voire des mois. Théobald explique que l'écart entre le temps de demi-réaction trouvé et le temps réel peut s'expliquer par le fait que les réactifs utilisés dans l'exercice étaient purs et non dilués, ce qui a augmenté la concentration et donc la vitesse de la réaction. Finalement, il conclut que pour obtenir une réaction rapide, il est nécessaire d'utiliser des réactifs purs et concentrés.

Formule 1 et freinage

Dans cet exercice, on étudie les pilotes de Formule 1 et leur décélération avant les virages. On suggère que les circuits devraient être redessinés pour éviter aux pilotes de prendre trop de risques. On analyse le mouvement de la voiture plus le pilote et l'accélération du système. En appliquant la deuxième loi de Newton, on montre que les coordonnées du vecteur d'accélération sont -f/m et 0. On justifie également que la variation de vitesse delta v peut être exprimée comme ax * delta t. En calculant la valeur de l'accélération à partir des données de vitesse et de durée, on obtient une valeur de 4,5 m/s^2, ce qui est inférieur à la limite de tolérance de 6G mentionnée. On conclut donc que le pilote ne prend pas de risque pour sa santé pendant le freinage. Dans la deuxième partie de l'exercice, on compare la prédiction du modèle avec les mesures réelles de vitesse obtenues grâce à un capteur embarqué. On exprime la vitesse en fonction du temps et on constate que la modélisation ne correspond pas exactement à la courbe expérimentale. On remet en question l'hypothèse selon laquelle la force de frottement reste constante pendant toute la durée du freinage.