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Dénombrer des ensembles simples

Le cours aborde le dénombrement et illustre des exemples. Dans le premier exemple, on lance une pièce pile ou face 7 fois de suite. On détermine le nombre de résultats possibles en considérant que c'est une liste où l'ordre compte et où on peut répéter plusieurs fois le même résultat. Ainsi, le nombre de tirages possibles est de 2 à chaque fois, soit 2 à la puissance 7. Dans le deuxième exemple, deux joueurs reçoivent 7 dominos au hasard parmi les 28 du jeu. On cherche à déterminer le nombre de distributions possibles en considérant que c'est une liste où l'ordre compte. Il n'y a pas de répétition possible, donc on dénombre en partant de 28 pour le premier tirage et en diminuant de 1 à chaque tirage, pour un total de 2 fois 7 dominos. On utilise une astuce pour déterminer la limite de tirage. On exprime également le résultat sous forme factorielle. Dans le dernier exemple, il y a 4 gâteaux et 4 invités. Chaque invité doit recevoir un gâteau. On considère que c'est une liste où l'ordre compte et où il n'y a pas de répétition possible. Ainsi, on dénombre 4 factorial, c'est-à-dire 4 fois 3 fois 2 fois 1. En conclusion, lorsqu'on effectue un dénombrement, il faut se poser deux questions : est-ce que l'ordre compte et est-ce qu'il peut y avoir des répétitions. Il est également recommandé de consulter la FAQ en cas de questions supplémentaires.

Tirage successif sans remise

Dans ce cours, nous abordons la façon de compter des tirages successifs sans remise. Nous considérons un exemple où 5 élèves se tiennent en rang et nous voulons savoir combien de façons il y a de les ranger. Pour déterminer cela, nous devons tout d'abord répondre à quelques questions. S'agit-il d'une liste ou d'un ensemble ? Dans ce cas, il s'agit d'une liste car l'ordre compte. Y a-t-il une répétition ? Non, car nous ne pouvons pas avoir deux fois le même élève. Maintenant que nous avons clarifié ces points, nous pouvons procéder au calcul. En première position, nous avons 5 choix possibles car nous pouvons choisir n'importe lequel des 5 élèves. En deuxième position, une fois que nous avons placé un élève, nous n'avons plus que 4 choix possibles, puis 3, puis 2, puis 1. Donc, en utilisant la formule générale, nous multiplions 5 par 4 par 3 par 2 par 1, ce qui équivaut à 5! (factorielle de 5). Cette formule, N! sur N-P!, s'applique lorsque nous avons P tirages successifs sans remise dans un ensemble de N éléments. Pensez à retenir cette formule. En résumé, pour les tirages successifs sans remise, nous utilisons la formule N! sur N-P!. Cela implique de choisir P éléments dans un ensemble de N éléments.

Tirage successif avec remise

Le problème étudié concerne les échanges de poignées de mains entre deux équipes de 15 personnes chacune. Pour déterminer le nombre de poignées de mains, il est nécessaire de comprendre que chaque poignée de main correspond à une paire de personnes, une de chaque équipe. En utilisant cette notion de paire, on peut calculer le nombre de possibilités en multipliant le nombre de personnes dans chaque équipe (15 pour l'équipe 1 et 12 pour l'équipe 2), ce qui donne 180 poignées de mains au total. Il est également important de noter qu'il n'y a pas de doublons compte tenu de l'ordre des membres des équipes dans la liste des paires. Une fois cette compréhension établie, il devient plus facile de résoudre le problème.

Principe multiplicatif et arbre pondéré

Dans ce cours, nous allons apprendre à faire un arbre pondéré, qui est utile pour dénombrer les différentes possibilités. Cependant, il faut noter que cela prend du temps à faire, donc il faut évaluer si cela vaut la peine de le faire en fonction du nombre de sous-branches. Au début, il est toujours bon de le faire au brouillon pour avoir des idées claires. L'exemple utilisé est celui d'une cantine scolaire proposant des menus différents aux élèves. Chaque élève peut choisir entre 4 entrées, 3 plats, puis entre fromage ou yaourt, et dessert ou fruit. Nous devons trouver combien de menus possibles peuvent être constitués. Pour construire l'arbre pondéré, nous commençons par les 4 entrées, puis pour chaque entrée, nous ajoutons les 3 plats possibles. Ensuite, nous avons le choix entre fromage et yaourt, et entre dessert ou fruit. Cependant, dans l'exemple donné, nous n'allons pas tout explorer, car cela ferait trop de branches. Pour compter les possibilités, nous utilisons le principe multiplicatif. Donc, nous multiplions chaque possibilité : 4x3x2x2, ce qui donne 48 menus possibles. Il est important de noter que cet arbre n'est pas pondéré. Les pondérations seraient utilisées pour les probabilités, lorsque certaines options ont des chances différentes d'être sélectionnées. Cependant, cela ne s'applique pas à ce stade, car nous sommes simplement en train de compter les possibilités. Dans le prochain chapitre, nous aborderons les probabilités et la question de la pondération.

Exo type en une minute !

Le cours présente un petit exercice où un candidat doit répondre à quatre questions indépendantes par vrai ou faux. Si le candidat répond au hasard, il y a 2 choix possibles pour chaque question, ce qui donne un total de 16 choix possibles. Ainsi, la probabilité d'obtenir les quatre bonnes réponses est de 1 sur 16. Cette exercice démontre simplement la randomité des réponses lors d'un test de ce type.

Cours par la pratique 1

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Avec et sans ordre de tirage

Le cours porte sur la détermination du nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes avec différentes combinaisons. Tout d'abord, il est expliqué que le carré d'As fixe 4 des 5 cartes. Sachant qu'il y a 28 autres cartes dans le jeu, il est précisé que cette combinaison est très rare. Ensuite, il est intéressant de déterminer le nombre de mains de 5 cartes de la même couleur dans un jeu de 32 cartes. On explique que pour cela, il est nécessaire de sélectionner 5 cartes parmi les 8 de la même couleur. Puisqu'il y a 4 couleurs dans un jeu de 32 cartes, le nombre total de mains possibles avec cette combinaison est donc de 4 fois le nombre de façons de sélectionner 5 cartes parmi 8. Le cours continue en abordant la détermination du nombre de mains avec exactement une paire de cartes. Il est souligné que cette condition signifie qu'il ne doit pas y avoir deux paires ni un brelan. Pour résoudre ce cas, il est expliqué qu'il faut sélectionner les 3 cartes restantes une par une, en faisant attention à ne pas les prendre parmi les cartes de la paire déjà fixée. Ainsi, on obtient le nombre de mains possibles en multipliant le nombre de façons de sélectionner chaque carte parmi les cartes restantes. Ensuite, on explique que pour chaque hauteur possible (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As), le nombre de paires possibles est de 2 parmi les 4 cartes de cette hauteur. Ainsi, le nombre total de mains possibles avec une paire donnée est obtenu en multipliant le nombre de façons de sélectionner une paire parmi les hauteurs possibles. En résumé, le nombre total de mains possibles avec exactement une paire est obtenu en effectuant ces calculs pour chaque paire possible, c'est-à-dire pour chacune des 8 hauteurs possibles.

Permutations : application

Dans ce cours, nous apprenons comment gérer les permutations. Une permutation se produit lorsque nous avons un ensemble ou une liste et que nous voulons savoir combien de façons il y a de changer l'ordre de cet ensemble. Par exemple, dans le cas d'un tirage de loto, nous voulons savoir combien de façons il y a de changer l'ordre du tirage une fois qu'il est fixé. Dans cet exemple, nous avons une conférence avec 12 scientifiques, 6 hommes et 6 femmes, dont 5 mathématiciens, 3 physiciens et 4 biologistes. Chaque groupe de scientifiques a une méthode de placement différente. La méthode des mathématiciens consiste à se placer au hasard, ce qui signifie qu'il y a 12 personnes déjà fixées et nous voulons savoir combien de façons il y a de les positionner. Le nombre de permutations pour un ensemble de n éléments est donné par la formule n!. Dans ce cas, nous avons 12 scientifiques, ce qui donne 12! permutations, soit 479 millions de possibilités. La méthode des physiciens consiste à rester ensemble, ce qui signifie que les physiciens restent côte à côte et les autres sont répartis de manière aléatoire. Dans ce cas, nous avons déjà 10 positions possibles pour le premier physicien, puisqu'ils doivent rester ensemble. Ensuite, il y a 6 permutations possibles pour les deux autres physiciens. Enfin, les autres scientifiques peuvent être positionnés de n'importe quelle façon parmi les 9 places restantes. En utilisant le principe multiplicatif, nous avons 10 x 6 x 9 permutations possibles, soit 21 millions de possibilités. La méthode des biologistes consiste à regrouper les hommes et les femmes ensemble. Dans ce cas, il y a 2 façons de positionner les deux groupes. Ensuite, chaque groupe peut être réparti de différentes façons, avec 6 permutations possibles pour les femmes et 6 permutations possibles pour les hommes. En utilisant le principe multiplicatif, nous obtenons 2 x 6! x 6!, soit 1 million 36 800 possibilités. Nous utilisons le principe multiplicatif pour calculer le nombre de permutations dans ces exemples. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ.

Dénombrer des combinaisons

Les combinaisons sont utilisées lorsque l'ordre ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition. Par exemple, dans le tirage du loto où l'ordre des numéros ne compte pas, ou dans le bridge où les joueurs ont une main de 13 cartes sans répétition. Pour calculer le nombre de mains possibles dans le bridge, on utilise la formule 13 parmi 52 (ou la formule factorielle si besoin). Ensuite, si l'on veut savoir combien de mains contiennent uniquement un cœur, on choisit d'abord un cœur parmi les 13 disponibles, puis on choisit les 12 cartes restantes parmi les 39 qui ne sont pas des cœurs. On multiplie ensuite ces deux nombres pour obtenir le résultat. En résumé, il est important de reconnaître les situations où l'on utilise les combinaisons, c'est-à-dire lorsque l'on a des ensembles, que l'ordre ne compte pas et qu'il n'y a pas de répétition.

Combinaison et intersection

Maintenant, nous allons voir comment les combinaisons fonctionnent avec les intersections. Le problème est similaire à une méthode que nous avons déjà utilisée avec les diagrammes et les intersections. Imaginons que nous prenions au hasard 20 élèves dans une classe, parmi lesquels 14 aiment les mathématiques, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux matières. Commençons par représenter cela avec un petit diagramme. Sur les 20 élèves, 10 aiment les mathématiques, 4 aiment à la fois les mathématiques et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela grâce aux 4 élèves qui se situent au milieu, nous avons 3 élèves qui n'aiment ni les mathématiques ni la physique. Maintenant, nous allons prendre au hasard des sous-groupes d'élèves parmi ces différentes catégories et nous devons déterminer combien de groupes comportent exactement 4 élèves qui aiment les mathématiques. Il s'agit d'un problème de combinaison, car l'ordre n'a pas d'importance et il n'y a pas de répétition. Donc, pour former des sous-groupes de 4 élèves, nous devons en choisir 4 parmi les 14 qui aiment les mathématiques. Combien de sous-ensembles peut-on construire parmi ces 14 élèves ? Cela équivaut à "14 parmi 4", ce que l'on peut noter mathématiquement par "14! divisé par 4! fois 10!". Si nous avons une calculatrice, cela se résout facilement. Cependant, si nous devons effectuer le calcul sans calculatrice, il est important de simplifier autant que possible. Les deux facteurs de 4! vont se simplifier et disparaître, ce qui laisse seulement "14 x 13 x 12 x 11". Les autres chiffres se simplifient également en "4 x 3 x 2". Ainsi, le résultat est de 1001. Passons maintenant à la deuxième question. Combien y a-t-il de sous-groupes de 4 élèves comportant 2 élèves qui n'aiment que les mathématiques et 2 élèves qui n'aiment que la physique ? À l'intérieur de ce sous-groupe de 4 élèves, nous avons deux sous-groupes de 2 élèves. Le premier sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment la physique, tandis que le deuxième sous-groupe comprend uniquement des élèves qui aiment les mathématiques. Il y a donc 10 élèves qui aiment seulement les mathématiques et 3 élèves qui aiment seulement la physique. Nous devons en choisir 2 parmi les 10 élèves qui aiment les mathématiques et 2 parmi les 3 élèves qui aiment seulement la physique. Cela revient à "2 parmi 10" multiplié par "2 parmi 3". Le calcul peut être simplifié, par exemple, "2 parmi 10" peut être résolu par "10 x 9 divisé par 2", ce qui donne 45. "2 parmi 3" est simplement 3. Donc, au total, cela nous donne 135 possibilités. Voilà comment nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections ensemble.

Classique : jetons colorés

Ce cours explique différentes méthodes de dénombrement en utilisant des jetons de couleurs. Le premier exercice consiste à tirer simultanément 4 jetons parmi 20, sans répétition. Le résultat est calculé en utilisant le nombre de combinaisons possibles (4845). Ensuite, l'exercice demande le nombre de tirages avec quatre numéros identiques. Il faut donc identifier les numéros qui ont au moins quatre occurrences, qui sont 0, 2 et 7. Le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque numéro, et les résultats sont additionnés (67). Le troisième exercice concerne les tirages avec uniquement des jetons blancs. Il y a 12 jetons blancs au total, et le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour choisir 4 jetons parmi 12 (495). Ensuite, il est demandé le nombre de tirages avec des jetons de la même couleur. Les couleurs possibles sont blanc et rouge, et le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque couleur, qui sont ensuite additionnées (565). Le cinquième exercice demande de former le nombre 2020 avec les jetons. Comme l'ordre ne compte pas, il faut choisir deux jetons avec le numéro 2 et deux jetons avec le numéro 0. Le calcul est effectué en utilisant le nombre de combinaisons possibles pour chaque numéro, qui sont ensuite multipliées entre elles (268). Enfin, le dernier exercice demande le nombre de tirages comportant au moins un jeton avec un numéro différent des autres. Pour simplifier le calcul, on considère l'événement contraire, c'est-à-dire avoir que des jetons identiques. Ce nombre de tirages est déjà calculé précédemment (76). En soustrayant ce nombre du nombre total de tirages possibles, on obtient le résultat final (4739). En conclusion, les combinaisons et le dénombrement ont été utilisés pour résoudre ces exercices de manière générale.