Encadrer sin(n)

Dans ce cours, nous étudions les fonctions sinus et moins 1 plus sin dans le contexte des théorèmes de convergence. Nous examinons la suite un = n + 2*sin(n) et montrons que pour tout n, un est supérieur à n-2. Pour cela, nous utilisons l'encadrement du sinus entre -1 et 1 pour obtenir un encadrement de un. Puisque le sinus n'a pas de limite définie, il est essentiel de l'encadrer. En multipliant le sinus par 2 (ce qui est positif) et en ajoutant n, nous obtenons un qui est supérieur à n-2. Bien que cette partie de l'inéquation ne soit pas notre objectif, elle est néanmoins vraie. En effet, un est compris entre n-2 et n+2. Nous nous intéressons principalement à la première partie de cette inéquation. Puisque n-2 tend vers l'infini et que un est supérieur à une suite qui tend vers l'infini, nous pouvons conclure, par comparaison, que un tend vers l'infini. Dans le deuxième exemple, nous considérons la suite Vn = -n^2 - n + (-1)^n. Encore une fois, nous utilisons l'encadrement de (-1)^n entre -1 et 1 car cette fonction n'a pas de limite. Nous remarquons que le terme dominant est n^2, alors que (-1)^n n'a qu'un rôle mineur. Nous faisons l'encadrement de Vn en ajoutant (-1)^n, puis nous obtenons une suite qui tend vers moins l'infini. En factorisant le terme de plus haut degré, nous obtenons Vn < n^2*(-1) + (-1/n) + (1/n^2). La partie de droite tend vers 1, alors que la partie avec le minus tend vers moins 1. Ainsi, n^2*(-1) - n + 1 tend vers moins l'infini. En utilisant la comparaison avec une suite qui tend vers moins l'infini, nous concluons que Vn tend vers moins l'infini. Ainsi, ces deux exemples illustrent l'utilisation de l'encadrement pour traiter des suites impliquant des fonctions sinus ou (-1)^n.