Exo TRÈS classique

Dans cette méthode, on étudie une suite qui est une fonction rationnelle de n, où le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur. La limite de cette suite est le quotient des coefficients dominants des polynômes constituant le numérateur et le dénominateur. On s'intéresse aux résultats préliminaires tels que la majoration, la croissance et la convergence. Dans le premier exercice, on considère la suite Un = (n-1)/(n+4) et on veut montrer qu'elle est majorée par 1. Pour cela, on remarque que le numérateur est plus petit que le dénominateur si c'est plus petit que 1. On peut alors partir de -1, dire que -1 est plus petit que 4, ajouter n, et ensuite faire le quotient. Comme c'est positif, le signe ne change pas, donc on en déduit que Un est strictement inférieur à 1. Pour étudier la monotonie de la suite, on utilise généralement Un+1 - Un. On peut parfois utiliser le quotient, mais il faut vérifier certaines conditions, comme le fait que Un ne s'annule jamais et qu'elle ne change pas de signe. Si la suite est constituée de produits de quotients ou de factoriels, on peut étudier le quotient Un+1/Un. Dans ce cas, on peut dire que la suite ne change pas de signe à partir d'un certain rang, car on s'intéresse à ce qui se passe à l'infini. On peut également utiliser la méthode du quotient Un+1/Un pour étudier les variations de la suite. On fait la différence entre deux quotients et on simplifie au maximum en développant. On peut alors observer les termes qui se suppriment. Si tous les termes restants sont positifs, on en déduit que la suite est strictement croissante. Si la suite est croissante et majorée, on peut conclure qu'elle est convergente. Cependant, la méthode du quotient ne permet pas de connaître la limite de la suite. Enfin, les exemples donnés dans le texte montrent qu'il est possible de trouver un majorant de la suite, mais cela ne garantit pas que la suite converge vers ce majorant. Il est important de faire attention à cela lors de l'utilisation des théorèmes de convergence.