Théorème de Napoléon

Dans cette vidéo, Paul nous présente un exercice sur les complexes et l'interprétation géométrique des complexes. Il commence par poser les idées de l'exercice, où le plan Euclidien est utilisé avec le repère O E1 E2. Il utilise la notation J pour désigner E I 2pi sur 3, qui représente les racines 3ème de l'unité. L'objectif de l'exercice est de montrer que le triangle U V W est équilatéral direct si et seulement si U moins V est égal à moins J carré W moins V. Paul explique qu'il va d'abord prouver le sens direct puis le sens réciproque de cette équivalence, car cela simplifie les calculs. Il explique également que les racines 3ème de l'unité forment un triangle équilatéral, ce qui pourrait être utile pour résoudre l'exercice. Il remarque que l'égalité U moins V égal à moins J carré W moins V ressemble à une rotation, où U est l'image de W par une rotation d'un certain angle. Il utilise ensuite cette observation pour prouver le sens réciproque de l'équivalence. Pour la deuxième question, il souhaite montrer que le triangle U V W est équilatéral direct si et seulement si U plus IV plus I carré omega est égal à 0. Il note que cette égalité ressemble à l'égalité précédente, donc il souhaite prouver que cette égalité est équivalente à l'autre. En utilisant la transitivité de l'équivalence et les résultats de la première question, il démontre cette équivalence. Pour la troisième question, qui concerne une construction géométrique complexe, Paul explique qu'il est nécessaire de faire des dessins pour bien comprendre. Il évoque le centre de gravité d'un triangle équilatéral, qui est l'intersection des médianes, des hauteurs ou des bissectrices. Il utilise les résultats des deux premières questions pour résoudre cette question et montre que les centres de gravité du triangle U V W et du triangle A B C sont concordants. En conclusion, Paul résume les différentes étapes de l'exercice et rappelle que le dessin ne constitue pas une preuve, mais peut aider à l'illustrer. Il termine en disant au revoir et en nous invitant à la prochaine vidéo.