Nombres de Mersenne

Dans cette vidéo, on aborde le sujet des nombres de Mersenne. Le premier objectif est de démontrer que si a^(n-1) est premier, alors a est égal à 2 et n est premier. Pour cela, on factorise a^(n-1) avec a-1, a^(n-2), ..., jusqu'à 1. On remarque que 1-1 divise a^(n-1), tandis que a-1 est différent de a^(n-1) car n est supérieur ou égal à 2. Donc a-1 est égal à 1, ce qui implique que a est égal à 2. Ensuite, il faut prouver que n est premier. On note n comme p*q, et on réécrit une égalité factorisée avec 2^(n-1). On observe que 2^(p-1) divise 2^(pq-1), qui est égal à 2^(n-1). Donc, si 2^(p-1) est égal à lui-même, cela signifie que p est égal à n. Ainsi, q est égal à 1 dans cette factorisation. De plus, si 2^(p-1) est égal à 1, cela entraîne que p est égal à 1. Donc, q est égal à n. Ainsi, dans tous les cas, n est un nombre premier. Ensuite, on doit vérifier que M11 n'est pas premier. On calcule M11, qui est égal à 2^11 - 1, soit 2047. On peut le décomposer en 23 fois 89, ce qui prouve que ce n'est pas un nombre premier. Le but de cette question est de comprendre pourquoi on nous l'a posée. On a vu précédemment que si un nombre de Mersenne est premier, alors la puissance n est aussi premier. Cependant, on vient de prouver le contre-exemple que si n est premier, alors 2^11 - 1 n'est pas premier. Donc, on a démontré que la réciproque ne marche pas.