D’un produit à l’autre

Le cours explique une méthode pour résoudre un exercice de matrices de manière élégante. Les matrices A et B sont définies avec des dimensions spécifiques, et il est demandé de démontrer que le produit BA est égal à la matrice identité. La méthode utilisée consiste à visualiser les matrices comme des blocs et à multiplier les blocs de lignes et de colonnes ensemble pour rendre les calculs plus globaux. Les matrices A et B sont donc décomposées en blocs A1, A2 et A tilde, ainsi que B1, B tilde respectivement. En utilisant cette notation, le produit AB est calculé comme la multiplication de LA, A tilde, C et B tilde. En faisant cette multiplication, on obtient L fois C, L fois B tilde, A tilde fois C et A tilde B tilde. En utilisant les informations données, on déduit que L fois C et L fois B tilde sont nuls, A tilde fois C est nul et A tilde B tilde est égal à la matrice identité I2. Le produit BA est ensuite calculé de manière similaire, donnant CL plus I2. Puisque A tilde B tilde est égal à I2, on peut conclure que CL est égal à 0, et donc que BA est égal à la matrice identité. Cette méthode utilise la vision des matrices comme des blocs et permet des calculs plus efficaces.