Oscillations non-amorties

Dans cet exercice, nous étudions les oscillateurs harmoniques non amortis. Nous nous intéressons spécifiquement à un système masse-ressort vertical, en négligeant la poussée d'Archimède et les frottements. Tout d'abord, nous faisons un bilan des forces qui agissent sur la masse m. Les forces incluent le poids dirigé vers le bas (mgex) et la force de rappel du ressort (kx-l0ex). Nous vérifions que la force de rappel ramène le ressort vers sa position d'équilibre lorsqu'il est étiré. Ensuite, nous déterminons l'équation différentielle en utilisant le principe fondamental de la dynamique projetée sur ux. Nous obtenons mx² = mgex-kx-l0. Lorsqu'il atteint la position d'équilibre, les forces se compensent, ce qui donne mg-kx-l0 = 0. La position d'équilibre est ainsi donnée par xex = l0 + mg/k. Cette relation montre que plus la masse est grande, plus la position d'équilibre est basse par rapport à l0. L'équation différentielle vérifiée par x en fonction de x, xex, m et k est transformée en une forme plus simple en introduisant l'écart à la position d'équilibre (x - xex). L'équation devient x seconde + ω0²x = 0, avec ω0² = k/m. Nous pouvons alors déterminer la période du mouvement, t0 = 1/(2π√(m/k)). Enfin, nous résolvons l'équation en prenant en compte les conditions initiales où la masse est à l'équilibre (x = 0) mais possède une vitesse v0 dirigée vers le bas (x = v0). La solution générale est donnée par x(t) = v0/ω0 sin(ωt). Cette résolution inclut les étapes classiques pour ce type d'exercice, notamment l'application du principe fondamental de la dynamique, le changement de variable et la résolution de l'équation différentielle.