Fonction et suite récurrente associée

Dans ce cours, nous étudions une fonction définie par une fraction rationnelle avec un degré de 1 au-dessus et en-dessous de la barre de fraction. La fonction est définie sur l'intervalle de 0 à l'infini. Nous déterminons la limite de la fonction lorsque x tend vers l'infini et interprétons graphiquement cette limite comme un plateau atteint par la fonction à mesure que x tend vers l'infini. Ensuite, nous démontrons que la dérivée de la fonction est égale à une expression donnée pour tout nombre réel positif ou nul. Nous utilisons des transformations mathématiques pour simplifier le calcul de la dérivée. Nous concluons en disant que la fonction est strictement croissante et positif sur son ensemble de définition. Dans la deuxième partie du cours, nous étudions une suite définie par récurrence à l'aide de la fonction précédemment étudiée. Nous démontrons par récurrence que la suite est décroissante et minorée. Nous utilisons des calculs numériques pour vérifier l'initialisation de la récurrence et la propriété héréditaire. Enfin, nous concluons en disant que la suite converge vers une limite strictement positive en utilisant le théorème des suites décroissantes et minorées.