CAPITAL : Reste de 145²⁰²² par 7 ?

Dans cet exercice de congruence, on nous demande de trouver le reste dans la division par 7 de 145 puissance 2022. Pour résoudre cet exercice, il est important de comprendre et connaître une méthode spécifique. Tout d'abord, on simplifie le nombre 145 en le réduisant modulo 7, ce qui donne un reste de 5. On utilise ensuite une technique pour comprendre le comportement des différentes puissances de 5. On remarque un cycle dans les restes des puissances successives, où le reste peut être 3, 4, 2, 3, etc. On utilise alors une règle des congruences qui dit que si A est congruent à B, alors A puissance N est congruent à B puissance N. On applique cette règle pour réduire la puissance 2022 à la puissance 2022 modulo 6, car 5 est plus simple que 145. En étudiant les différentes puissances de 5 modulo 6, on remarque qu'au bout de 6 puissances, on a un cycle qui se répète. On montre alors qu'on a couvert tous les entiers naturels, car tout entier peut s'écrire comme un multiple de 6, un multiple de 6 plus 1, etc. Maintenant, on se concentre sur la puissance 2022. On remarque que 2022 est pair et divisible par 3 (la somme de ses chiffres est 6), donc il est dans la case correspondant à un multiple de 6. Finalement, on conclut que 145 puissance 2022 est congru à 5 puissance 2022, qui est congru à 1. Il est important de comprendre cette méthode en profondeur et de savoir l'utiliser, car elle est très utile pour résoudre de nombreux exercices de congruence et d'arithmétique.