Cours de Calcul Intégral en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Calcul Intégral

Introduction

Dans cette vidéo, le sujet principal est l'introduction au premier topic du chapitre sur les intégrales. On y présente les définitions et les propriétés, ainsi qu'une explication sur ce qu'est une intégrale. Le but est de calculer des valeurs sous des courbes. Le sous-chapitre consiste en la pose de bases pour des fonctions continues, positives et négatives. L'auteur explique comment trouver les r sous la courbe d'une fonction constante ou affine, ce qui permet de comprendre comment fonctionne l'intégrale sous une fonction plus complexe. Il explique également l'approximation utilisée pour trouver cette aire, basée sur la somme d'une infinité de rectangles de largeur delta x et de hauteur f de x en chaque point. Les points de cours abordés dans ce sous-chapitre concernent la définition de l'intégrale pour les fonctions continues positives et de signes quelconques, ainsi que les méthodes pour trouver et estimer l'intégrale.

Définition de l'intégrale

L'intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle a, b représente l'aire de la surface entre la courbe de la fonction, les axes verticaux x égal à a et x égal à b, et l'axe horizontal. Cette aire est mesurée en unité d'aire, qui est un petit carré de taille 1 sur 1 dans un repère orthonormé. L'intégrale est notée par un signe mystérieux, "intégrale entre a et b de f de x dx". Si la fonction est négative, on mesure tout simplement la surface correspondante et on y met un signe moins. Si la fonction a des valeurs mixtes, on différencie les parties positives et négatives en calculant leur aire respective. Il faut toujours garder en tête que l'intégrale est positive au-dessus de l'axe des X et négative en dessous de cet axe.

Encadrement et intuition graphique

Dans cette vidéo, on apprend comment approximer l'aire sous une courbe en utilisant des formes géométriques telles que des rectangles, des triangles, etc. Cependant, pour les courbes plus complexes, on doit utiliser des méthodes d'approximation telles que les rectangles supérieurs et inférieurs, le point milieu et les trapèzes. Lorsque le nombre de rectangles augmente et leur finesse diminue, alors on atteint la vraie valeur de l'aire sous la courbe. En utilisant des graphiques pour illustrer ces méthodes, nous pouvons mieux comprendre comment est effectué le calcul d'aires et d'intégrales.

Intégrale et Aire

Ce cours explique comment calculer une intégrale géométriquement, sans utiliser la fonction. Cette méthode est valable pour des formes géométriques simples, comme un trapèze, comme dans l'exemple présenté avec une fonction affine. Pour calculer l'intégrale, il faut trouver la hauteur, la largeur et la longueur des bases du trapèze en question. On peut le faire en trouvant les coordonnées des points a, b, c et d qui le définissent. Ensuite, on calcule les longueurs de chaque côté du trapèze et on applique la formule de l'aire du trapèze: la moyenne des deux bases fois la hauteur. Dans cet exemple, l'aire du trapèze est de 6,875, ce qui correspond à la valeur de l'intégrale recherchée. C'est une méthode alternative au calcul de primitives dans certains cas.

Méthode des Rectangles

Dans ce cours de mathématiques, on utilise la méthode des rectangles pour encadrer l'aire sous une courbe dont l'intégrale n'a pas une forme géométrique simple. La fonction à intégrer est croissante et on encadre son aire en utilisant les airs de petits et grands rectangles. L'encadrement obtenu ne sera pas très précis, mais en diminuant la largeur des rectangles, on peut augmenter la précision de l'encadrement. En fin de compte, on encadre l'intégrale de la fonction de 0 à 4 à l'aide de deux bornes. En résumé, la méthode d'encadrement est une méthode utile pour trouver une valeur approximative de l'intégrale d'une fonction lorsque l'on ne peut pas trouver sa primitive.

Introduction

Bienvenue dans cette vidéo d'introduction au premier sujet du chapitre sur les intégrales. Dans cette vidéo, nous allons présenter les définitions et les propriétés des intégrales. L'objectif de ce chapitre est de calculer des "R" sous des courbes, c'est-à-dire d'évaluer l'aire entre une courbe et l'axe des x. Dans ce sous-chapitre, nous allons poser les bases pour les fonctions continues et examiner ce qui se passe lorsqu'elles sont positives ou négatives. Pour commencer, prenons un exemple simple ensemble. Quelle est l'aire "R" sous la courbe de cette fonction ? La fonction est constante et vaut 2 entre 0 et 3. Il s'agit d'un rectangle de hauteur 2 et de largeur 3, donc l'aire "R" est de 6. Nous pouvons faire la même chose avec une fonction affine qui a une pente de 1. Cette fois-ci, nous avons un triangle rectangle isocèle avec une base de 3 et une hauteur de 3. L'aire "R" est donc égale à 3 fois 3 divisé par 2, soit 9/2. Maintenant, vous pourriez vous demander pourquoi consacrer un chapitre entier à ce sujet. En réalité, nous aurons affaire à des fonctions plus complexes et nous allons nous inspirer de cas très simples, comme les rectangles, pour essayer de comprendre comment évaluer l'aire "R" sous des fonctions plus courbes qui ne sont pas constantes. Nous dirons donc que cela sera approximativement égal à l'aire "R" d'une somme de rectangles. Les rectangles auront une largeur "delta x" pour la distance entre les points, et une hauteur qui sera la valeur de la fonction "f(x)" pour chaque rectangle. Pour être plus précis, il s'agit d'une approximation, mais je vais devoir vous expliquer pourquoi nous utilisons ce symbole. Ce symbole est en réalité un S stylisé qui signifie somme entre "a" et "b". Mais qu'est-ce qui se passe ? En réalité, nous verrons que l'aire "R" est grossièrement égale à la somme des rectangles, mais uniquement lorsque nous effectuons une somme sur un nombre infini de rectangles. Nous allons donc placer un nombre infini de rectangles en les rendant infiniment fins pour approcher la vraie valeur. En termes d'écriture, nos rectangles, qui ont une largeur "delta x", sont souvent représentés avec un "dx" lorsque le nombre de rectangles devient très grand. Nous utilisons également un symbole de somme stylisé lorsque la somme devient infinie, c'est-à-dire lorsque nous atteignons une "R" complète. Maintenant que nous avons expliqué comment cela fonctionne et pourquoi nous utilisons ces symboles, nous allons aborder les premières approximations que nous allons faire. Les points clés de ce sous-chapitre seront les définitions des intégrales pour les fonctions continues positives et pour les fonctions de signes quelconques. Nous utiliserons également des encadrements et des intuitions graphiques pour estimer l'aire "R". Les méthodes que nous utiliserons seront le calcul de l'aire "R" et l'estimation de l'aire "R" par la méthode des rectangles que nous avons évoquée précédemment. Bon courage pour le reste du chapitre et je vous retrouve dans la prochaine vidéo. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ si besoin. À bientôt !

Définition de l'intégrale

L'intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b] représente l'aire sous la courbe de cette fonction entre les valeurs x = a et x = b, ainsi que l'axe horizontal. On exprime cette aire en unités d'aire, qui sont des carrés de taille 1 sur 1 dans un repère orthonormé. L'intégrale est notée par le symbole mystérieux entre a et b de f(x) dx. Si la fonction est négative, on considère l'aire comme négative et on met un signe moins devant la valeur de l'aire calculée. Si la fonction présente des parties positives et des parties négatives, on comptabilise les aires séparément. Il est important de noter que l'intégrale est positive lorsque la fonction est au-dessus de l'axe horizontal et négative lorsqu'elle est en dessous.

Encadrement et intuition graphique

Dans cette vidéo, différentes méthodes d'approximation de l'aire sous une courbe sont présentées. L'objectif est de mieux comprendre le calcul de l'aire. La méthode principale est celle des rectangles supérieurs et inférieurs. On divise l'intervalle en plusieurs petits intervalles de même amplitude et on construit des rectangles en dessous et au-dessus de la courbe. En augmentant le nombre de rectangles et en diminuant leur taille, on s'approche de plus en plus de la vraie aire sous la courbe. D'autres méthodes sont également mentionnées, bien qu'elles ne soient pas au programme. Il s'agit de la méthode du point milieu, où des rectangles sont traversés par la courbe au milieu de leur côté supérieur, et de la méthode des trapèzes, où les quadrilatères ne sont plus des rectangles mais des trapèzes. Ces méthodes permettent d'obtenir des approximations plus précises de l'aire sous la courbe. La vidéo illustre ces différentes méthodes à l'aide de graphiques pour faciliter la compréhension. En conclusion, cette vidéo offre un aperçu des différentes façons d'approximer l'aire sous une courbe, mettant en évidence leur utilité et leur précision croissante avec l'augmentation du nombre de rectangles utilisés.

Intégrale et Aire

Lorsque nous souhaitons calculer une intégrale de façon géométrique, sans utiliser une fonction, il est important que la forme géométrique soit « simple ». Dans cet exemple, nous avons une fonction affine pour laquelle l'erreur d'intégration correspond à un trapèze. Nous nous intéressons ici à l'intégrale de la fonction x plus 2 entre -0,5 et 2. Nous pouvons représenter cette intégrale comme l'erreur sous la courbe jusqu'à l'axe des abscisses. Il existe deux méthodes pour calculer cette intégrale. La première consiste à calculer la primitive de x plus 2 et à effectuer les calculs habituels. La seconde méthode consiste à réaliser un calcul géométrique de l'erreur, étant donné que celle-ci correspond à un trapèze. Dans cette dernière méthode, nous devons déterminer la hauteur, la largeur et la longueur des bases du trapèze. Pour trouver ces informations, nous avons choisi de trouver les coordonnées des points a, b, c et d. Les points a et b se trouvent sur la droite de la fonction et vérifient donc son équation. Nous connaissons les abscisses : xa est égal à -0,5 et xb est égal à 2. Pour trouver les ordonnées respectives de ces points, nous utilisons l'équation de la droite, à savoir y = x + 2. Ainsi, si xa vaut -0,5, nous avons ya = -0,5 + 2, ce qui donne 1,5. Les coordonnées de a sont donc (-0,5 ; 1,5). De manière similaire, si xb vaut 2, nous avons yb = 2 + 2, soit 4. Les coordonnées de b sont donc (2 ; 4). En ce qui concerne les points c et d, ils se trouvent sur l'axe des abscisses et leurs coordonnées sont respectivement (2 ; 0) et (-0,5 ; 0). Nous devons maintenant calculer les différentes longueurs des côtés du trapèze. Comme il s'agit de lignes horizontales ou verticales, cela est relativement simple. Pour les côtés a et d, nous faisons la différence entre les ordonnées de a et d, ce qui donne 1,5. Pour les côtés b et c, nous faisons la différence entre les ordonnées de b et c, ce qui donne 4. Pour les côtés d et c, nous faisons la différence entre les abscisses de c et d, ce qui donne 2,5. En utilisant la formule de l'aire du trapèze, qui est la moyenne des deux bases multipliée par la hauteur, nous pouvons alors calculer l'aire de notre trapèze. Dans notre cas, cela donne (1,5 + 4) * 2,5, ce qui équivaut à 6,875. La formule de l'aire du trapèze dépend de la définition des bases et de la hauteur, mais peu importe la définition choisie, il s'agit de la moyenne des deux côtés parallèles de longueurs différentes, multipliée par la base. Dans notre exemple, nous l'avons vu comme la base multipliée par la moyenne des hauteurs. Ainsi, nous avons présenté un cas particulier où il n'est pas nécessaire de calculer les primitives de la fonction pour obtenir l'intégrale, mais il est possible d'utiliser le calcul direct de l'aire géométrique, en l'occurrence ici, du trapèze. C'est une méthode alternative pour calculer une intégrale en se basant sur une approche géométrique.