Cours de Variables aléatoires en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Variables aléatoires

Utiliser un arbre pondéré

Dans cette vidéo, nous étudions les probabilités d'événements en utilisant un arbre pondéré. Nous avons des informations sur les habitudes de Naomi pour se rendre au lycée : si le temps est beau, elle prend le vélo 8 fois sur 10, et si le temps est moche, elle prend le vélo 5 fois sur 10. De plus, il y a 75% de journées ensoleillées dans sa ville. Nous voulons déterminer la probabilité de l'événement "ensoleillé et prendre le vélo" (E inter V) et la probabilité de prendre le vélo (V). Nous commençons par construire un arbre pondéré avec les deux possibilités pour le temps (ensoleillé ou non) et les deux possibilités pour le moyen de transport (vélo ou autre). En utilisant les informations données, nous déterminons les probabilités associées à chaque nœud de l'arbre. Ensuite, nous calculons la probabilité de l'événement "ensoleillé et prendre le vélo" en utilisant la formule P de E inter V = P de E x P de V sachant E. Nous trouvons que la probabilité est de 0,6, soit 60%. Enfin, nous calculons la probabilité de prendre le vélo en utilisant la formule des probabilités totales en considérant les chemins de l'arbre où Naomi prend le vélo. Nous obtenons une probabilité de 72,5%. C'est une méthode classique pour calculer les probabilités à l'aide d'un arbre pondéré.

Représenter un schéma de Bernoulli

Dans ce cours, nous étudions le schéma de Bernoulli, qui représente une expérience répétée ayant deux résultats possibles : réussite ou échec. Dans cet exemple, Gloria remarque que lorsqu'un client entre dans sa librairie, il y a une probabilité de 67% qu'il achète un livre. Nous devons déterminer s'il s'agit d'un schéma de Bernoulli. Pour justifier cela, nous devons vérifier si les clients sont indépendants les uns des autres et si leur choix d'achat ne dépend pas des clients précédents. Dans notre cas, les clients sont indépendants et leur choix n'est pas influencé par les autres. Donc, il s'agit bien d'un schéma de Bernoulli avec un nombre d'expériences (clients) n égal à 4 et une probabilité de succès (achat de livre) p égale à 0,67. Ensuite, nous devons construire un arbre pour représenter tous les chemins possibles. Chaque nœud de l'arbre représente soit un succès (achat de livre) soit un échec (pas d'achat), avec une probabilité de succès de 67% et une probabilité d'échec de 33% à chaque nœud. Comme nous répétons l'expérience quatre fois, nous avons beaucoup de chemins possibles, mais grâce à l'arbre, nous pouvons les représenter tous. Nous nous intéressons ensuite au cas où il y a exactement deux succès (deux achats). Nous pouvons utiliser une méthode manuelle pour compter tous les chemins qui correspondent à cette condition en utilisant l'arbre. Dans ce cas, il y a six chemins possibles correspondant à deux succès. En calculant la probabilité de chaque chemin (0,67² x 0,33²) et en les multipliant par le nombre de chemins (6), nous obtenons une probabilité de 29% pour avoir exactement deux personnes qui achètent des livres. Cette méthode peut être généralisée avec la formule de la loi binomiale, ce qui nous donnerait une approche plus systématique pour calculer les probabilités. Cependant, dans cet exemple, l'arbre nous permet également d'obtenir le résultat souhaité.

Schéma de Bernoulli

La vidéo traite de la reconnaissance et de l'utilisation de la loi binomiale en statistiques. Pour cela, il faut identifier un chemin de Bernoulli, qui consiste en la répétition indépendante d'une même expérience avec deux issues possibles : échec ou réussite. Ensuite, on attribue une variable aléatoire x qui compte le nombre de succès, et cette variable suit une loi binomiale de paramètres n (nombre de répétitions) et p (probabilité de succès). La formule utilisée pour calculer la probabilité que x soit égal à k est k parmi n multiplié par p élevé à la puissance k, multiplié par 1 moins p élevé à la puissance n moins k. Dans l'exemple donné, il s'agit de tirages successifs et indépendants pour lesquels le succès est de tirer une boule noire parmi 3 boules noires sur un total de 8 boules (soit une probabilité de 3/8). Ainsi, la variable x qui compte le nombre de boules noires obtenues suit une loi binomiale de paramètres n égal à 5 et p égal à 3/8. En effectuant les calculs, on obtient une probabilité de 20% que x soit égal à 3. Pour plus d'informations, consultez la FAQ.

Calcul brut de probabilités

Dans ce cours, nous abordons les premiers calculs avec la loi binomiale. La loi binomiale est caractérisée par les paramètres n=50 et p=0.23. Nous devons calculer trois probabilités. La première consiste à trouver la probabilité que p soit strictement inférieur à 12, ce qui est équivalent à la probabilité que x soit inférieur ou égal à 11. Cette donnée peut être obtenue sur toutes les calculatrices graphiques du lycée et nous trouvons une probabilité de 0.512. Ensuite, pour la probabilité que x soit supérieur ou égal à 4, nous pouvons considérer l'événement contraire, c'est-à-dire l'événement où x est inférieur ou égal à 3. En utilisant la fonction de calculatrice, nous trouvons une probabilité de 0.999. Enfin, la probabilité que x soit compris entre 5 et 8 peut être trouvée en faisant la différence entre la probabilité que x soit inférieur ou égal à 8 et la probabilité que x soit inférieur ou égal à 5. En utilisant la calculatrice, nous trouvons une probabilité de 0.14. Il est important de savoir utiliser la bonne fonction sur la calculatrice, ce qui peut être facilement trouvé en demandant à des camarades, en consultant la FAQ correspondant à votre modèle de calculatrice ou en recherchant sur Google.

Espérance et écart-type : graphique

Dans ce cours, nous apprenons comment utiliser les diagrammes en barre pour représenter les lois binomiales. Dans le premier exemple, nous avons une loi binomiale avec une probabilité de succès de 0,4, mais nous ne connaissons pas la valeur de N. Nous devons estimer la valeur de l'espérance, qui est généralement centrée autour de la moyenne de 10. En utilisant cette estimation, nous pouvons déduire que N est égal à 25. Ensuite, nous comparons cette première loi binomiale à une deuxième. Nous remarquons que la deuxième est plus centrée et a une plus petite étendue. L'écart-type est une mesure de dispersion et est plus faible lorsque la courbe est plus resserrée. Les valeurs importantes à retenir sont l'espérance (NxP), la variance (NPx-P) et l'écart-type (racine carrée de la variance). Enfin, dans un exercice supplémentaire, nous cherchons à trouver la valeur de P qui donne le plus grand écart-type. En utilisant une fonction de degré 2, nous trouvons que l'écart-type est maximum lorsque la probabilité vaut 1,5. Cela s'explique par le fait qu'une probabilité de 1,5 indique une incertitude égale entre les réussites et les échecs, ce qui peut entraîner des résultats très différents. En résumé, les diagrammes en barre nous permettent d'analyser et de comprendre les lois binomiales en termes d'espérance, de variance et d'écart-type.

Binomiale et tirage avec remise

Dans ce cours, on apprend à reconnaître et utiliser la loi binomiale. La première étape consiste à repérer un schéma de Bernoulli, qui est une expérience répétée plusieurs fois de manière indépendante avec deux résultats possibles, succès ou échec. Ensuite, on attribue une variable aléatoire x qui représente le nombre de succès. Cette variable suit une loi binomiale avec les paramètres n (nombre de répétitions) et p (probabilité de succès). On utilise la formule qui permet de calculer la probabilité que x soit égal à k. Dans l'exemple donné, on tire successivement et indépendamment des boules d'un ensemble de 8 boules, dont 3 sont noires. On peut donc dire que c'est un schéma de Bernoulli, avec p égal à 3/8. En attribuant à x le nombre de boules noires obtenues, on peut dire que x suit une loi binomiale avec n égal à 5 et p égal à 3/8. En utilisant la formule, on calcule que la probabilité que x soit égal à 3 est de 20%. Si vous avez d'autres questions, consultez la FAQ.

Classique : produit défectueux en usine

Ce cours porte sur les produits défectueux en usine et les tests effectués sur ces produits. L'usine effectue deux tests indépendants pour déterminer si un produit est défectueux. La probabilité qu'un produit défectueux passe le premier test est de 0.12 et de 0.08 pour le deuxième test. Si le produit passe les deux tests, il est vendu, sinon il est détruit. La première question est de savoir quelle est la probabilité qu'un produit défectueux soit mis en vente. Pour répondre à cette question, on utilise les notations suivantes : V pour la vente, T1 pour le premier test et T2 pour le deuxième test. Pour qu'un produit soit mis en vente, il doit passer les deux tests. Donc la probabilité de vente est égale à la probabilité que le produit passe T1 inter T2. Comme les tests sont indépendants, la probabilité est alors égale au produit de P(T1) et P(T2), soit 0.12 * 0.08. Le calcul donne une probabilité de mise en vente de moins de 1%, soit 0.96%. Ensuite, on nous demande quelle est la probabilité qu'au moins 3 produits défectueux soient mis en vente parmi 100 produits indépendants. On remarque que cela correspond à une situation de répétition d'expériences identiques et indépendantes avec deux résultats possibles : vente (réussite) et destruction (échec). On compte le nombre de ventes avec la variable aléatoire X. Pour répondre à cette question, on utilise une loi binomiale de paramètres 100 (nombre de produits indépendants) et 0.0096 (probabilité de vente). On cherche P(X ≥ 3), qui est équivalent à 1 - P(X < 3). On calcule donc P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2), et on les soustrait de 1. Les calculs donnent une probabilité de 38% d'avoir aucun produit défectueux en vente, 36% d'avoir un produit en vente défectueux et 18% d'avoir deux produits en vente défectueux. Finalement, la probabilité d'avoir trois ou plus produits défectueux en vente est de 7%. Les formules utilisées sont celles de la loi binomiale : P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k). La formule générale est appliquée pour chacun des cas calculés.

Déterminer le + grand entier

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice sur les variables aléatoires suivant des lois binomiales. Plus précisément, il cherche à déterminer le plus grand entier cas (k) tel que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9. Pour résoudre cet exercice, il commence par analyser les phénomènes en jeu. Il remarque que lorsque k augmente, la probabilité que X soit supérieur ou égal à k diminue, car l'ensemble X supérieur ou égal à k devient de plus en plus petit. Ainsi, son objectif est de trouver le cas où la probabilité que X soit supérieur ou égal à k+1 est strictement inférieure à 0,9, tandis que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9. En utilisant sa calculatrice, il calcule la probabilité que X soit supérieur ou égal à 22, 21 et 20. Il remarque que la probabilité est égale à 0,80 pour k=22, 0,89 pour k=21 et 0,95 pour k=20. Il constate que pour k=21, la probabilité est strictement inférieure à 0,9, alors que pour k=20, elle est strictement supérieure à 0,9. Il en conclut donc que le plus grand entier k tel que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9 est 20.

Déterminer le + petit entier

Dans cette vidéo, Corentin explique la troisième méthode pour déterminer le plus petit entier k tel que la probabilité que X soit inférieur ou égal à k soit supérieure ou égale à 0,5 pour une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale. La méthodologie utilisée est similaire à la méthode 2, mais cette fois-ci on raisonne à l'inverse. En augmentant k, la probabilité que X soit inférieur ou égal à k augmente également. Corentin utilise une calculatrice pour calculer les probabilités progressivement décroissantes jusqu'à atteindre la probabilité souhaitée. Dans cet exemple, il commence à 40 et diminue jusqu'à atteindre une probabilité de 0,93 pour X inférieur ou égal à 36. Il en conclut donc que k est égal à 37, car à ce stade, la probabilité est strictement supérieure à 0,95.

Seuil de probabilité

Les intervalles de fluctuation sont utilisés pour évaluer si une modélisation probabiliste correspond à la réalité. Ils permettent de déterminer si une certaine probabilité est respectée avec un certain seuil de confiance. Pour illustrer cela, prenons l'exemple d'une troupe de théâtre qui souhaite savoir si elle est sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%. On suppose que le nombre de spectateurs suit une loi binomiale de paramètres n=100 et p=0.15. Pour trouver la réponse, nous devons repérer l'intervalle demandé (plus grand que 10), les paramètres de la loi (n=100 et p=0.15) et le seuil de confiance (95%). En utilisant une calculette, nous calculons la probabilité que le nombre de spectateurs soit supérieur ou égal à 10, ce qui donne 94.5%. Cette probabilité est juste en dessous du seuil de 95%, ce qui signifie que la troupe n'est pas sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%. Ainsi, les intervalles de fluctuation nous permettent d'évaluer si une modélisation probabiliste correspond à la réalité en utilisant des tests et des seuils de confiance.

Déterminer un intervalle de fluctuation

Le cours porte sur la détermination de l'intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale. Les paramètres de la loi binomiale sont les suivants : n = 40 et p = 0,2. Le seuil α est fixé à 0,05. Pour calculer l'intervalle de fluctuation centré au seuil 1-α, on commence par diviser α par 2, ce qui donne α/2 = 0,025. Ensuite, on cherche le plus petit entier k tel que la probabilité P(X<k) soit supérieure à α/2, soit 0,025. On cherche également le plus petit entier i tel que la probabilité P(X<i) soit supérieure à 1-α/2, soit 0,095. L'intervalle de fluctuation correspond à la zone où la variable aléatoire X a 95% de chances de se situer. On souhaite que les zones situées à l'extérieur de cet intervalle aient une probabilité de α/2, soit 2,5% de chance. Pour trouver les bornes de cet intervalle, on effectue des calculs à l'aide d'une calculatrice. En tâtonnant, on trouve que P(X<3) est égal à 0,008 et P(X<4) est égal à 0,0285. Le premier entier qui fonctionne est 3, car pour X<2, la probabilité est inférieure à α/2. Pour la borne supérieure de l'intervalle, on cherche un entier i tel que P(X<i) soit supérieur à 0,0975. On trouve notamment que P(X<12) est égal à 0,0957 et P(X<13) est égal à 0,0981. L'entier recherché est donc 13. En résumé, l'intervalle de fluctuation centré associé à la variable aléatoire X, avec un seuil de 0,095, est de 3 à 13. Cela signifie qu'il y a 95% de chances que la variable aléatoire X se situe entre 3 et 13.