Cours d'apprentissage en ligne

Lire des termes d'une suite explicite

Dans cette vidéo, nous traitons du lien entre une suite explicite et la représentation générale d'une fonction. Lorsque nous définissons explicitement une suite, nous ne considérons que certains antécédents et images d'une fonction définie sur R. Par exemple, la suite f2n est définie uniquement pour les entiers naturels, tels que n=0,1,2,3,4,5,6,7, et ainsi de suite. Pour déterminer les cinq premiers termes de la suite, nous recherchons f2 0, f2 1, f2 2, f2 3 et f2 4 sur le graphique. En lisant les coordonnées correspondantes sur le graphique, nous trouvons que u0 = f2 0 = -1, u1 = f2 1 = -2, u2 = f2 2 = -1, u3 = f2 3 = 2 et u4 = f2 4 = 7. Ainsi, la fonction associée à la suite peut prendre des valeurs négatives ou positives. Par exemple, la suite vn = racine de n + 2 peut donner des valeurs qui ne sont ni entiers naturels ni entiers relatifs. En résumé, une suite est une représentation discrète de points choisis à partir d'une fonction définie sur un ensemble de règles.

Application type des suites géométriques

Cet article explique l'utilisation des suites pour suivre l'évolution de données économiques ou démographiques. Le texte donne un exemple de ville qui a augmenté de 10% chaque année depuis 2018, pour montrer comment les suites peuvent être utilisées pour tracer ces évolutions. Le texte explique comment chaque terme de la suite peut être calculé, et justifie que cette suite est en réalité géométrique plutôt qu'arithmétique. Il explique également comment la raison de la suite peut être trouvée, et fournit des formules pour calculer chaque terme.

Somme de termes d'une suite arithmétique

Dans ce cours, nous calculons la somme des 25 premiers entiers naturels pairs. Pour résoudre cet exercice classique, nous utilisons nos connaissances sur les suites arithmétiques et géométriques, ainsi que sur les formules pour les sommes de termes de ces suites. Nous identifions rapidement que la somme est une suite arithmétique de raison 2. Nous écrivons la suite sous forme de combien de fois 2 chaque nombre est égal, en sachant que le 25ème terme est 24 fois 2 et non pas 25 fois 2. Nous appliquons la formule de la somme des n premiers entiers pour obtenir le résultat final : 300.

Somme de termes d'une suite géométrique

Dans cet exercice de mathématiques, il est demandé de calculer deux sommes. La première est une somme de termes d'une suite arithmétique et peut être résolue avec la formule générale où S est égal à 1 moins Q puissance le nombre de termes sur 1 moins Q. Dans cet exemple, Q est égal à 3 et le nombre de termes est 12. La deuxième somme est une somme de termes d'une suite géométrique, cependant, les termes ne sont pas donnés sous forme de puissance. En observant les alternances de signes, il est facile de comprendre que la raison est -2 et que le dernier terme est -2048. La formule générale est appliquée avec Q étant -2 et le nombre de termes étant 11. La somme finale est obtenue après des calculs mentaux simples.

Variations d'une suite - un peu bizarre !

Ce cours se concentre sur l'étude des variations de suites. La méthode principale est de calculer la différence entre deux termes successifs, soit un plus un moins un. Si le résultat est positif, cela signifie que le terme suivant est plus grand, et donc la suite est croissante. Si le résultat est négatif, cela signifie que le terme suivant est plus petit, et donc la suite est décroissante. Dans cet exemple particulier, la suite est définie par u0 = 3 et un+1 = un + 1. En calculant un plus un moins un, on obtient un plus la racine carrée de n. Cette expression est positive ou nulle, ce qui signifie que la suite est croissante. Dans un autre exercice, on cherche à déterminer la croissance de la suite vn+1 = 3/vn. En calculant vn plus un moins vn, on obtient 3 - vn^2 / vn. Dans ce cas, il n'est pas évident de trouver un résultat immédiatement. Donc, il est conseillé de calculer quelques termes de la suite pour avoir une idée de la croissance. En calculant les premiers termes, on remarque que la suite oscille entre les valeurs 1 et 3, et donc n'est ni croissante ni décroissante. Il est important de ne pas paniquer lorsque l'on rencontre des difficultés dans la conclusion d'un problème. Calculer quelques termes de la suite peut souvent aider à se débloquer.

Application pratique de la somme des termes

Le cours porte sur l'application des suites arithmétiques à un problème pratique. Michael décide de faire un voyage à vélo de 2000 km de Paris à Stockholm. Le premier jour, il parcourt 20 km, puis chaque jour il ajoute 5 km de plus que la veille. Au bout de 10 jours, il a parcouru 400 km. Pour résoudre ce problème, on utilise les formules de suites arithmétiques. On note UN comme la distance parcourue le énième jour. On trouve que UN = 20 + (n-1) x 5, en utilisant la définition d'une suite arithmétique. Ensuite, on note SN comme la distance totale parcourue depuis le début. On utilise la formule de la somme des termes de la suite arithmétique pour exprimer SN en fonction de n. On obtient que SN = n/2 x (20 + (20 + (n-1) x 5)), ce qui simplifié donne SN = 35n + 5n^2/2.

Classique : suite auxiliaire

Ce cours traite d'un type de suite qui n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique. Cette suite, appelée "suite arithmético-géométrique", est définie par récurrence en fonction de UN. La méthode pour étudier cette suite consiste à étudier une autre suite, VN, qui est une version décalée de la première. On cherche alors à démontrer que cette suite VN est plus facile à étudier et qu'elle correspond à une suite géométrique. Dans l'exercice, on donne les valeurs de U1 et U2, puis on demande de calculer V0. Ensuite, on cherche à démontrer que VN est une suite géométrique de raison 3 en calculant VN+1. En factorisant par 3, on obtient VN+1 = 3VN, ce qui permet de conclure que VN est bien géométrique de raison 3. En déduisant l'expression de VN en fonction de N, on obtient VN = 4 * 3^N. Enfin, on déduit l'expression de UN en fonction de N en utilisant la relation UN = VN - 2. Ainsi, UN = 4 * 3^N - 2. Il est recommandé de bien comprendre et maîtriser cet exercice, car il est très courant et peut tomber dans les évaluations. N'hésitez pas à poser des questions si nécessaire.

Variations d'une suite explicite

Ce cours présente une étude de variation de suite basée sur une suite explicite. L'approche utilisée ici consiste à exprimer la suite en termes d'une fonction f(x) = (x-3)/(2x+1) et à étudier les variations de cette fonction pour en déduire les variations de la suite. Pour simplifier l'expression de la fonction, on utilise une astuce consistant à inverser le numérateur et le dénominateur afin d'obtenir f(x) = 1/(2x+1) - 7/2. Cette fonction est une fonction inverse avec un signe moins, ce qui signifie qu'elle est décroissante. En conséquence, la suite est également décroissante. Cette approche permet de simplifier l'expression de la suite et est une alternative à la méthode habituelle utilisant des additions et des soustractions. En conclusion, la suite étudiée est décroissante.

Empilement de livres

Dans cet exercice, Pierre empile des livres de moins en moins épais en partant d'un livre de 500 pages. On cherche à déterminer combien de pages contient une pile de 20 livres. En utilisant la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, on obtient un résultat de 8100 pages pour la pile de 20 livres. Ensuite, on cherche le nombre maximum de livres que Pierre peut empiler si chaque livre doit contenir au moins 10 pages et on veut connaître le nombre total de pages de la pile. On trouve que le dernier livre doit être le 50ème et la pile va donc contenir 12 750 pages. L'exercice demande de bien poser le problème en mentionnant les termes de la suite arithmétique et en sachant appliquer les formules pour obtenir les résultats.

Somme des n premiers carrés

Dans ce cours, on étudie la somme des carrés des premiers entiers. On commence par prouver que si deux suites ont le même premier terme et la même règle de récurrence, alors ce sont les mêmes suites. On utilise cette méthode pour calculer les trois premiers termes de la somme des carrés des entiers. Ensuite, on détermine une relation entre un plus un et un plus un en montrant que la somme des n premiers entiers au carré plus le dernier entier au carré est en fait la somme des n premiers entiers plus le dernier entier au carré. On donne ensuite une forme factorisée de cette somme, qui permet de simplifier la somme des carrés des premiers entiers. Enfin, on montre que la suite obtenue avec cette formule et la suite des carrés des premiers entiers ont le même premier terme et la même relation de récurrence, donc elles sont égales. Cette relation permet de calculer la somme des carrés des premiers entiers de manière plus simple et compacte.

Somme des n premiers cubes

Dans ce cours, nous allons calculer la somme des premiers cubes. Nous allons découvrir que la somme des cubes est égale à la somme des entiers normaux, élevés au carré. Nous commençons par rappeler la formule de Vn, qui représente la somme des premiers entiers. Ensuite, nous calculons les trois premiers termes de chaque suite et remarquons que Un est probablement égal à Vn². La conjecture est confirmée en comparant les premiers termes des deux suites. Pour prouver que Un est égal à Vn² pour tout entier n, nous utilisons la même méthode que dans l'exercice précédent en vérifiant que le premier terme est le même et que la relation de récurrence est également la même. Nous effectuons des calculs pour montrer que la suite Wn vérifie la même relation de récurrence que Un et que les deux suites ont le même premier terme. Nous concluons ainsi que Un est égal à Wn pour tous les entiers n. La formule à retenir est que la somme des cubes est égale à la somme des entiers élevés au carré.